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正方形滚动一周，就是滚动四个90°角。如图：滚动第一个90°时，A点所经过的路线长是以点C为圆心、AC长为半径的-圆周长，此时A点滚动到了A1点(D点滚动到了D1点);滚动第二个90°时，其路线长是以点D1为圆心、A1D1长为半径的-圆周长，此时A1点滚动到了A2点的位置;滚动第三个90°时，由于以点A2为圆心，此时A2点的位置未变(B2点滚动到了B3点);滚动第四个90°时其长是以点B3为圆心、B3C3长为半径的-圆周长，此时A3点滚动到了A4点的位置。∴A点滚动一周经过的路线长为：-×2π×8-+-×2π×8+0+-×2π×8=(4-+8)π，当正方形滚动两周时，正方形顶点A所经过的路线的长等于(8-+16)π。

[思维延伸2]：如图2，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在P1、P2、P3、P4…P2008的位置，则P2008的横坐标为_______。

[解析]∵正方形沿x轴正方向连续翻转4次正好翻转了一周 ∴翻转2008次就是翻转了502周。从P点经过的路线可以看出，在每个周期内，P点相应的沿着x轴的正方向移动了4个单位长度 ∴正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次后P点向前移动了4×502=2008个单位长度 ∴P点的横坐标为-1+2008=2007。

例.如图6所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。

[解析]可先将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°到△BEC的位置，由旋转的性质知，此时△CPE是等腰直角三角形，∠CPE=45°，在△BPE中，由勾股定理逆定理可证出∠BPE=90°，由此可求出∠BPC的度数。

[全解]将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°到△CBE的位置，连结PE ∴△APC≌△BEC ∴EC=PC=2，EB=PA=3，△CPE是等腰直角三角形 ∵PC=2，∠CPE=45°∴PE=2-，在△BPE中 ∵(2-)2+12=32，即PE2+PB2=BE2 ∴△BPE为Rt△，∠BPE=90°∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°

[思维延伸1]如图已知，在等边三角形ABC内有一点M，且MA=3，MB=4，MC=5，求等边三角形ABC的面积。

[解析]求等边三角形的面积，关键是求出等边三角形的边长。将△AMB绕点B按逆时针方向旋转60°到△CM1B的位置，连结MM1，过B点做BD⊥CM1交CM1的延长线于点D,可得△BMM1是等边三角形 ∴MM1=BM1=BM=4，CM1=AM=3，∠BM1M=60°，在△MM1C中，可证M1M2+M1C2=MC2

∴∠MM1C=90°，故∠BM1C=150°∴∠BM1D=30°。在Rt△BM1D中，可求出BD=2，M1D=2-。在Rt△BDC中，BC2=22+(2-+3)2=25+12- ∴S△ABC=-BC2=-(25+12-)=9+-(单位面积)

[点评]本题的前半部分与例6类似，先求出∠BM1C=150°，再在Rt△BM1D中，分别求出BD、M1D的长，最后在Rt△BDC中求出BC2的长，从而求出△ABC的面积。

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