经典例题透析

考点一、三角形的概念及其性质

1.(1)(2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是( )

A. 直角三角形 　　　B. 锐角三角形 　　　C. 钝角三角形　　　 D. 等边三角形

思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形.

答案：B

(2)三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )

A.-6

思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.

解析：根据三角形三边关系得：8-3<1-2a<8+3，解得-5

举一反三：

【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简 得_________.

思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.

解析：∵a，b，c为△ABC的三条边 ∴a-b-c<0， b-a-c<0

∴ =(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )

A.1种　　　 B.2种　　　 C.3种　　　 D.4种

解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.

【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.

思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.

解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10;(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.

2.(1)(2010宁波市)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )

A.5个 　　　B.4个　　　 C.3个　　　 D.2个

考点：等腰三角形

答案：A

(2)如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.

考点：直角三角形两锐角互余.

解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°

又∵BD∥AC，　∴∠CBD=∠C=40°.

3.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中( )

A.一定有一个内角为45° 　　　　B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形　　　　　　 D.一定是钝角三角形

考点：三角形内角和180°.

思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.

解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定.

举一反三：

【变式1】下图能说明∠1>∠2的是( )

考点：三角形外角性质.

思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.

解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2;B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等;C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1>∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.

总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.

【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )

A.锐角三角形 　　　B.钝角三角形 　　　C.直角三角形 　　　D.不能确定

思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.

解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.

【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )

A.0 个　　　 B.1个　　　 C.2个　　　 D.3个

思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.

解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和;三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确;(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.

考点二、三角形的“四心”和中位线

4.(1)与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )

A.二条中线的交点 　　　　　　B. 二条高线的交点

C.三条角平分线的交点　　　　 D.三边中垂线的交点

考点：线段垂直平分线的定理.

思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.

(2)(2010四川眉山)如图，将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形.

考点：三角形中位线找规律

思路点拨：图①有1个正三角形;图②有(1+4)个正三角形;

图③有(1+4+4)个正三角形;图④有(1+4+4+4)个正三角形;

图⑤有(1+4+4+4+4)个正三角形;….

答案：17

5.一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )

A.直角三角形 　　　　B.等腰三角形　　　 C.等腰直角三角形 　　　　D.等边三角形

考点：三角形角平分线定理.

思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.

举一反三：

【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求∠BOC的度数.

考点：三角形外心、内心、垂心性质.

解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°;

(2)O为内心时，∠BOC=90°+ ∠A=119°;

(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.

【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( )

A.锐角三角形　　　 B.只有两边相等的锐角三角形

C.直角三角形 　　　D.锐角三角形或直角三角形

解析：三角形的内心都在三角形内部;锐角三角形外心在三角形内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.

【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( )

A.中线　　　 B.高线　　　 C.边的中垂线　　　D.角平分线

思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到.

解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.

6.(1)(2010广东茂名)如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是( )

A、15米　　　 B、20米　　　 C、25米 　　　D、30米

考点：三角形中位线定理.

思路点拨：BE=AE=5 ，CF=FA=5，BC=2EF=10

答案：C

总结：最新中考数学总复习就为大家介绍到这里了，希望对大家备战中考有所帮助，祝同学们考入自己理想的高中院校！

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