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一、解答题

1.(北京8分)如图，在平面直角坐标系 O 中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段).已知A(﹣1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与 轴的交点D在射线AE的反向延长线上.

(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离;

(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围;当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围;

(3)已知 AMPQ(四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标 的取值范围.

【答案】解：(1)连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1。

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴∠ADB=90°。∴BD⊥AD。

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD= 。∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为 。

(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，

b的取值范围是b= 或﹣1

当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1

①当点M在射线AE上时，如图2.

∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方。

∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合。 ∴0

∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0

②当点M不在弧AD上时，如图3，

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。

③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DR上时，如图4，

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点.

∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。∴0≤ < 。

当点M在弧RB上时，如图5，

直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形。

④当点M在射线BF上时，如图6，

直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。

综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2< <﹣1或0≤ < 。

【考点】一次函数综合题，勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理。

【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离。

(2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量 的取值范围即可。

(3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。

2.(天津10分)已知抛物线 ： .点F(1，1).

(Ⅰ) 求抛物线 的顶点坐标;

(Ⅱ) ①若抛物线 与 轴的交点为A.连接AF，并延长交抛物线 于点B，求证： ②抛物线 上任意一点P( ))( ).连接PF.并延长交抛物线 于点Q( )，试判断 是否成立?请说明理由;

(Ⅲ) 将抛物线 作适当的平移.得抛物线 ： ，若 时. 恒成立，求m的最大值.

【答案】解： (I)∵ ，∴抛物线 的顶点坐标为( ).

(II)①根据题意，可得点A(0，1)，

∵F(1，1).∴AB∥ 轴.得

AF=BF=1， ② 成立.理由如下：

如图，过点P作PM⊥AB于点M，则

FM= ，PM= ( )。

∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 又点P( )在抛物线 上，得 ，即 ∴ ，即 。

过点Q( )作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，

同理可得 ∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，∴△PMF∽△QNF。

∴ ，这里 ， 。

∴ ，即 。

(Ⅲ) 令 ，设其图象与抛物线 交点的横坐标为 ， ，且 < ，

∵抛物线 可以看作是抛物线 左右平移得到的，

观察图象.随着抛物线 向右不断平移， ， 的值不断增大，

∴当满足 ，. 恒成立时，m的最大值在 处取得。

∴当 时.所对应的 即为m的最大值。

∴将 带入 ，得 。

解得 或 (舍去)。

∴ 。此时， ，得

。

解得 ， 。

∴m的最大值为8。

【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。

【分析】(I) 只要把二次函数变形为 的形式即可。

(II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。

3.(河北省12分)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0)，抛物线 经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A (1，0)，B (1，﹣5)，D (4，0).

(1)求 ， (用含t的代数式表示)：

(2)当4

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由;若不变，求出∠AMP的值;

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时， ;

(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

【答案】解：(1)把 =0， =0代入 ，得 =0。

把 =t， =0代入 ，得t2+ t=0，

∵t>0，∴ =﹣t。

(2)①不变.

如图，当 =1时， =1﹣t，故M(1，1﹣t)，

∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。

②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM

= (t﹣4)(4t﹣16)+ [(4t﹣16)+(t﹣1)]×3﹣ (t﹣1)(t﹣1)= t2﹣ t+6。

解 t2﹣ t+6= ，得：t1= ，t2= 。

∵4

∴t= 。

(3)

【考点】二次函数综合题。

【分析】(1)由抛物线 经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得 ， 。

(2)①当 =1时， =1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数。

②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值。

(3)当 ，经过(2，-3)时，“好点”(2，-2)和(2，-1)在抛物线上方，

此时， ，∴ 。

当 =3时， ，在-1和-2之间，说明(3，-1)也在抛物线上方。

因此，抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须 。

当 ，经过(3，-2)时，“好点”(3，-1)在抛物线上方，

此时， ，∴ 。

当 =3时， ，在-3和-4之间，说明“好点”(2，-3)，(2，-2)和(2，-1)也在抛物线上方。

因此，抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须 。

综上所述，t的取值范围是

4.(山西省14分)如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为 ，直线l的解析式为 .

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.

【答案】解：(1)(3，4); 。

(2)根据题意，得OP=t，AQ=2t.分三种情况讨论：

①当 时，如图l，M点的坐标是( )。

过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥ x轴于E，

可得△AEO∽△ODC。

∴ ，即 。

∴ ， 。

∴Q点的坐标是( )。∴PE= 。

∴S= 。

②当 时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，

∵ ，∴OF= 。

∴Q点的坐标是( )，

∴PF= 。

∴S= 。

③当点Q与点M相遇时， ，解得 。

∴当 时，如图3，MQ= ，MP=4。

∴S= 。

综上所述，S= 。

(3)① 当 时， ，

∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，

∴当 时，S随t的增大而增大。 ∴当 时，S有最大值，最大值为 。

②当 时， 。

∵ ，抛物线开口向下，∴当 时，S有最大值，最大值为 。

③当 时， ，∵ .∴S随t的增大而减小。

又∵当 时，S=14.当 时，S=0.∴ 。

综上所述，当 时，S有最大值，最大值为 。

(4)当 时，△QMN为等腰三角形。

【考点】动点问题，平行四边形的性质， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，一、二次函数的增减性和最值，等腰三角形的判定。

【分析】(1)由点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得点C的坐标为(11-8，4)，即(3，4)。

由点C在直线l，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求直线l的解析式。

(2)分①点Q在AB上，点M在OC上，②点Q在BC上，点M在OC上，③点Q在BC上，点M在BC上三种情况讨论即可。

(3)按(2)的分段情况，根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。

(4)易知，∠NMQ为直角，故要△QMN为等腰三角形只有MQ=MN。

∵M( )，N( )，Q( )，

∴ 。

当点M在点Q的左边， ，解得， 。

当点M在点Q的右边， ，解得， 。超过 ，舍去。

∴当 时，△QMN为等腰三角形。

5.(内蒙古呼和浩特12分)已知抛物线 的图象向上平移 个单位( )得到的新抛物线过点(1，8).

(1)求 的值，并将平移后的抛物线解析式写成 的形式;

(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻

折到x轴 上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数 的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在 ≤ 时对应的函数值 的取值范围;

(3)设一次函数 ，问是否存在正

整数 使得(2)中函数的函数值 时，对应的 的值为 ，若存在，求出 的值;若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)由题意可得 又点(1，8)在图象上，∴ 。∴ 。

∴ 。

(2) 。

画图如下：

当 时， 。

(3)不存在。理由如下：

当 且对应的 时， ，解得 ， ，

且 得 。

∴不存在正整数 满足条件。

【考点】二次函数综合题，平移的性质，二次函数的顶点式，函数的图象特征，解一元二次方程和一元一次不等式组。

【分析】(1)根据抛物线 的图象向上平移 个单位，可得 ，再利用又点(1，8)在图象上，求出 即可。

(2)根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点。

(3)根据当 且对应的 时， ，得出 取值范围即可得出答案。

6.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分)如图(图1，图2)，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC.

(1)若点E是BC的中点(如图1)，AE与EF相等吗?

(2)点E在BC间运动时(如图2)，设BE=x，△ECF的面积为y.

①求y与x的函数关系式;

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

图1 图2

【答案】解：(1)在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE.

∴AB﹣AG=BC﹣EC，即BG=BE。∴∠BGE=45°。

∴∠AGE=135°。

∵CP是外角平分线，

∴∠DCF=45°。∴∠ECF=135°

∴∠AGE=∠ECF。

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF。

在△AGE和△ECF中， ，∴△AGE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF。

(2)①与(1)同理可证，当E不是中点时，AE=EF，

∴在△ABE和△ENF中， ，∴△ABE≌△ENF(AAS)。∴FN=BE=x。

又∵BE=x，BC=4，∴EC=4﹣x，∴y= ·(4﹣x)x，

∴y与x的函数关系式为y=﹣ x2+2x (0

②∵y=﹣ x2+2x=﹣ (x2﹣4x)=﹣ (x﹣2)2+2，

∴当x=2，y最大值=2。

【考点】正方形的性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得AE=EF。

(2)同(1)可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题。

7.(内蒙古包头12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，3)，B(6，1)，C(0，-2).

(1)求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式;

(2)点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标;

(3)设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E(t，n)是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S.当S取何值时，满足条件的点E只有一个?当S取何值时，满足条件的点E有两个?

【答案】解：(1)将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得

，解得 。∴y=- x2+ x-2=- (x- )2+ 。

(2)设点P( ，m)，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′ 。

∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C。

∴ ，即 ，

解得m1= ，m2= 。

∴P( ， )或( ， )。

(3)由B(6，1)，C(0，-2)，得直线BC的解析式为y= x-2，∴D(4，0)。

∵四边形OEDC只能在x上方，∴n>0。

又S=S△CDO+S△EDO= ，∴ 。

∵点E(t，n)在抛物线上，∴n =- t 2+ t-2，代入 ，得

关于t的方程t 2-7 t+S=0，方程根的判别式△=49-4S。

当△=0时，S= ， ，此时方程只有一解，满足条件的点E只有一个，位于抛物线顶点处(图1)。

当△>0时，S< ，由S>4，所以4

设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。由t 2-7 t+6=0得

t=1或t=6。此时点E的坐标为(1，1)或(6，1)，即满足条件的点E与点B′或B重合(图2)。

①当6

条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个(图3)。

②当4

点H与点B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个(图4)。

综上所述，当4

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式。

(2)当AP⊥CP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，利用互余关系得角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P点坐标。

(3)分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点时，即S= 满足条件的点E只有一个;当6

8.(内蒙古乌兰察布16分)如图 ，正 比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。

(1)求 m的值;

( 2 )求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式;

( 3 )若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的 ?若存在，求点 E 的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)设反比例函数为 ，

把A(3，3)代入 ，得 ，∴ 。

∴反比例函数为 。

∵B(6，m)在反比例函数上，∴ 。

(2)设正比例函数为 ，

把A(3，3)代入 ，得 ，∴ 。

∴正比例函数为 。

设直线BD的解析式为 ，

∵直线BD过 ，∴ ，∴ 。

∴直线BD的解析式为 。

在 中，令 ，得 ，∴D( )。

在 中，令 ，得 ，∴C( )。

设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为 ，得

，解得： 。

∴抛物线的解析式为 。

(3)假设存在E( )满足条件，

， [来源:Z&xx&k.Com]

在 中，令 ，解得 ，

∴E的坐标应满足 ， 。

∵ ，

∴ ，即 ，

解得： 。

∴ ，即 。∴ 。

∵ ，∴ 。

∴ 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，解一次方程组和一元一次方程。

【分析】(1)由于反比例函数的图象都经过点A(3，3)，由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6，m)，把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。

(2)由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6，m)，与 轴、 轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用

待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。

(3)如图，利用(1)(2)知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为 ，那么利用 可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的 即可列出关于 的方

程，利用方程即可解决问题。

9.(内蒙古呼伦贝尔13分)如图，已知二次函数 的图象与 轴相交于点A、

C， 与 轴相交于点B，A ,△AOB∽△BOC.

⑴求C点的坐标、∠ABC的度数;

⑵求二次函数 的解析式;

⑶在线段AC上是否存在点M ，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)由 ，令 =0，得B(0，3)。

又 A ，∴OA= ，OB=3。

∵△AOB∽△BOC，∴ ，即 ，∴OC=4。∴C(4，0)。

∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC。

又∵∠OAB+∠OBA=900，∴∠OBC+∠OBA=900，即∠ABC=900。

(2)∵ 的图象经过A ，C(4，0)，

∴ ，解得 。

∴二次函数的解析式为 。

(3) 过点P作PM⊥BC交AC于点M，

则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点P在以BM为直径的圆上

又∵∠ABC=900，∴PM∥BA。∴△CPM∽△CBA。

∴ 。

由A ，B(0，3)，C(4，0)，可得OA= ，OB=3，OC=4。

则CA= +4= ，CB= 。

由M ，得CM=4- 。

分三种情况：

①当PC=PO时，点P为BC的中点，得CP=2.5。

∴ ，解得 。

②当CP=CO时，CP=4。

∴ ，解得 。

③当OC=OP时，由于OP(=4)>OB(=3)，从而点P在CB的延长线上，这样点M点不在线段AC上。

综上所述， 的值为 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组，圆周角定理。勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质。

【分析】(1)由△AOB∽△BOC，得对应边成比例，对应角相等，可得C(4，0)和∠ABC=900。

(2)由点A，C在二次函数的图象上，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系可求解析式。

(3)根据圆周角定理和相似三角形的性质可得 。分PC=PO，CP=CO，OC=OP三种情况讨论即可。

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