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2012中考数学一元二次方程综合题解析

一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。

一、一元二次方程与一次函数综合

例 已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1，x2.

(1)求m的取值范围;

(2)设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.

分析：(1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值.

解：(1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.

∵ 原方程有两个实数根，

∴ △= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 4≥0，得 m≤.

(2) ∵ x1，x2为x2 + 2(m-1)x + m2 = 0的两根，

∴ y = x1 + x2 =-2m + 2，且m≤.

因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1.

二、一元二次方程与反比例函数综合

例2已知关于x的方程.若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值.

分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值.

解： 设方程的两个根为，，

根据题意得.又由一元二次方程根与系数的关系得，

那么，所以，当k=2时m取得最小值-5

点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目