15.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4，

此抛物线过点A(0，-5)，

∴-5=a(0-3)2+4，∴a=-1.

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4，

即y=-x2+6x-5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.

证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，

∴B(1,0)，C(5,0).

设切点为E，连接CE，

由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC=OBCE，即12+524=1CE，

解得CE=426.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r=d=426.

又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2，而2>426.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.

(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，

∵A(0，-5)，C(5,0)，

∴AC2=50，

AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.

①当∠A=90°时，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，

∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，

整理，得xp+yp+5=0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，

∴yp=-x2p+6xp-5.

∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，

解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.

∴点P为(7，-12)或(0，-5)(舍去).

②当∠C=90°时，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，

∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，

整理，得xp+yp-5=0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，

∴yp=-x2p+6xp-5，

∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，

解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，-12)或(2,3).

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