一、题型特点

填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。

不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。

填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差,课前预习，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。

二、考查功能

1.填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。

同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。

2.填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。

在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。

三、思想方法

同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法)等。

【例题解析】

一、直接求解法??直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

例1 已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1= -4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk+S′k =0，则ak+bk的值为 。

解 法一 直接应用等差数列求和公式Sk= ，得 + =0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。

法二 由题意可取k=2(注意：k≠1，为什么?)，于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2=4,即ak+bk=4。

例2 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种(用数字作答)。

解 三名主力队员的排法有 种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有 种排法，故共有排法数A33A72=252种。

例3 如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)。

解 正方体共有3 组对面，分别考察如下：(1)四边形BFD1E在左右一组面上的射影是图③。因为B点、F点在面AD1上的射影分别是A点、E点。(2)四边形BFD1E在上下及前后两组面上的射影是图②。因为D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD的中点、BC的中点;B点、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。故本题答案为②③。

例4 已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为 。

解 过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的斜率k= -2,kOF= ，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1, )。

例5 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：

甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x) 乙：在 (-∞,0 上函数递减

丙：在(0,+∞)上函数递增 丁：f(0)不是函数的最小值

如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 。

解 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。

例6 若 - =1，则sin2θ的值等于 。

解 由 - =1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①

令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2 -2。

例7 已知z1=3+4i,z2= -2-5i,则arg( )= 。

解 将z1=3+4i,z2= -2-5i代入 整理得 =3i，故arg( )= 。

例8 若( + )n展开式中的第5项为常数，则n= 。

解 由Tr+1=Cnr( )n-r( )r=Cnr2rx 及题意可知，当r=4时，n-3r=0，∴n=12。

二、图像法??借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

例9 若关于x的方程 =k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。

解 令y1= ,y2=k(x-2),由图14-3可知kAB

例10 已知两点M(0,1),N(10,1) ，给出下列直线方程

①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程的序号是 。

解 由|MP|=|NP|+6可知，点P的轨迹是以M(0，1)，N(10，1)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为 - =1，(x5)。本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点的问题，结合图形判断，易得②③直线与双曲线的右支有交点。

例11 点P(x,y)是曲线C： (θ为参数，0≤θπ)上任意一点，则 的取值范围是 。

解 曲线C的普通方程为(x+2) 2 +y2=1(y≥0)，则 可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形14-4判断易得 的取值范围是[- ，0]。

三、特殊化法??当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论。

1.特殊值法

例12 设a1，则logab,logba,logabb的大小关系是 。

解 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logab= ,logba=2,logabb= ,

∴logabb

2.特殊函数法

例13 如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是 。

解 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)

3.特殊角法

例14 cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值为 。

解 本题的隐含条件是式子的值为定值，即与α无关，故可令α=0°，计算得上式值为 。

例15 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则 的值是 。

解 考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n，又易知它满足题设条件，于是 = 。

5.图形特殊位置法

例16 已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为 。

解 取SA=SB=SC，将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成的二面角为arccos 。

6.特殊点法

例17 椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。

解 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=± ，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0;点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-

7.特殊方程法

例18 直线l过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 。

解 ∵抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。

8.特殊模型法

例19 已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β;

③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β;

④若n α，m α，且n∥β,m∥β，则α∥β;

⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β;

则其中正确的命题是 。(把你认为正确的命题序号都填上)

解 依题意可构造正方体AC1，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

四、构造法??在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

例20 如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 。

解 根据题意可将上图补形成一正方体，在正方体中易求得为60°。

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