16.(2014•襄阳，第12题3分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是(　　)

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

考点： 翻折变换(折叠问题);矩形的性质

分析： 求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF= PE，判断出②错误;求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误;求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确.

解答： 解：∵AE= AB，

∴BE=2AE，

由翻折的性质得，PE=BE，

∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°，

∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

∴EF=2BE，故①正确;

∵BE=PE，

∴EF=2PE，

∵EF>PF，

∴PF>2PE，故②错误;

由翻折可知EF⊥PB，

∴∠EBQ=∠EFB=30°，

∴BE=2EQ，EF=2BE，

∴FQ=3EQ，故③错误;

由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，

∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等边三角形，故④正确;

综上所述，结论正确的是①④.

故选D.

点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

17.(2014•孝感，第9题3分)如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(　　)

A. (2，10) B. (﹣2，0) C. (2，10)或(﹣2，0) D. (10，2)或(﹣2，0)

考点： 坐标与图形变化-旋转.

分析： 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.

解答： 解：∵点D(5，3)在边AB上，

∴BC=5，BD=5﹣3=2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，

所以，D′(﹣2，0)，

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，

所以，D′(2，10)，

综上所述，点D′的坐标为(2，10)或(﹣2，0).

故选C.

点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论.

18.(2014•台湾，第12题3分)如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点.若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何?(　　)

A.16 B.24 C.36 D.54

分析：由于△ADC=△AGC﹣△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解.

解：△ADC=△AGC﹣△ADG=12×AG×BC﹣12×AG×BF

=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24.

故选：B.

点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算.

19.(2014•台湾，第27题3分)如图，矩形ABCD中，AD=3AB，O为AD中点，是半圆.甲、乙两人想在上取一点P，使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下：

(甲) 延长BO交于P点，则P即为所求;

(乙) 以A为圆心，AB长为半径画弧，交于P点，则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确?(　　)

A.两人皆正确 B.两人皆错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确

分析：利用三角形的面积公式进而得出需P甲H=P乙K=2AB，即可得出答案.

解：要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积，

需P甲H=P乙K=2AB.

故两人皆错误.

故选：B.

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键.