2016中考数学关于矩形菱形专项练习

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2016-01-06

16.(2014•襄阳,第12题3分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是(  )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

考点: 翻折变换(折叠问题);矩形的性质

分析: 求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°,然后求出∠AEP=60°,再根据翻折的性质求出∠BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF= PE,判断出②错误;求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;求出∠PBF=∠PFB=60°,然后得到△PBF是等边三角形,判断出④正确.

解答: 解:∵AE= AB,

∴BE=2AE,

由翻折的性质得,PE=BE,

∴∠APE=30°,

∴∠AEP=90°﹣30°=60°,

∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°,

∴∠EFB=90°﹣60°=30°,

∴EF=2BE,故①正确;

∵BE=PE,

∴EF=2PE,

∵EF>PF,

∴PF>2PE,故②错误;

由翻折可知EF⊥PB,

∴∠EBQ=∠EFB=30°,

∴BE=2EQ,EF=2BE,

∴FQ=3EQ,故③错误;

由翻折的性质,∠EFB=∠BFP=30°,

∴∠BFP=30°+30°=60°,

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°,

∴∠PBF=∠PFB=60°,

∴△PBF是等边三角形,故④正确;

综上所述,结论正确的是①④.

故选D.

点评: 本题考查了翻折变换的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形两锐角互余的性质,等边三角形的判定,熟记各性质并准确识图是解题的关键.

17.(2014•孝感,第9题3分)如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是(  )

A. (2,10) B. (﹣2,0) C. (2,10)或(﹣2,0) D. (10,2)或(﹣2,0)

考点: 坐标与图形变化-旋转.

分析: 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.

解答: 解:∵点D(5,3)在边AB上,

∴BC=5,BD=5﹣3=2,

①若顺时针旋转,则点D′在x轴上,OD′=2,

所以,D′(﹣2,0),

②若逆时针旋转,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,

所以,D′(2,10),

综上所述,点D′的坐标为(2,10)或(﹣2,0).

故选C.

点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正方形的性质,难点在于分情况讨论.

18.(2014•台湾,第12题3分)如图,D为△ABC内部一点,E、F两点分别在AB、BC上,且四边形DEBF为矩形,直线CD交AB于G点.若CF=6,BF=9,AG=8,则△ADC的面积为何?(  )

A.16 B.24 C.36 D.54

分析:由于△ADC=△AGC﹣△ADG,根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解.

解:△ADC=△AGC﹣△ADG=12×AG×BC﹣12×AG×BF

=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24.

故选:B.

点评:考查了三角形的面积和矩形的性质,本题关键是活用三角形面积公式进行计算.

19.(2014•台湾,第27题3分)如图,矩形ABCD中,AD=3AB,O为AD中点,是半圆.甲、乙两人想在上取一点P,使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下:

(甲) 延长BO交于P点,则P即为所求;

(乙) 以A为圆心,AB长为半径画弧,交于P点,则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?(  )

A.两人皆正确 B.两人皆错误 C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确

分析:利用三角形的面积公式进而得出需P甲H=P乙K=2AB,即可得出答案.

解:要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积,

需P甲H=P乙K=2AB.

故两人皆错误.

故选:B.

点评:此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质,利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键.

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