[类比探索]

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(3)，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.

答：____________________.

(1)　　　 　　 (2)　　 　　　 (3)

等腰三角形与直角三角形

1.B　2.A　3.C　4.B

5.2 6　6.2　7.2　8.5　9.10

10.证明：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAE=∠CAE.

在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，

∴△ABE≌△ACE(SAS).

∴BE=CE.

(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形.∴AF=BF.

由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF.

在△AEF和△BCF中，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF，

∴△AEF≌△BCF.

11.12°　解析：设∠A=x.∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x.∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，∴x=12°.即∠A=12°. X Kb 1. C om

12.2 13或6 2　解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线.在Rt△ABD中，可得BD=13，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2 13;如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC=3 2，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.

(1) 　　　　 (2)

图17

13.(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE.

又∵∠CDA=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF(ASA).∴AC=BF.

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=EC，即AC=2AE，

∴BF=2AE.

(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2.

∴在Rt△CDF中，CF=DF2+CD2=2.

∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=FC=2.

∴AD=AF+DF=2+2.

14.解：[操作发现]①②③④

[数学思考]MD=ME，MD⊥ME.证明如下：

图18

①MD=ME.

如图18，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MF=12AC.

又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC，且EG=12AC.

∴MF=EG.

同理可证DF=MG.

∵MF∥AC，

∴∠MFA+∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°.

∴∠MFA=∠MGA.

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°.

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA，

即∠DFM=∠MGE.又MF=EG，DF=MG，

∴△DFM≌△MGE(SAS).∴MD=ME.

②MD⊥ME.

如图18，设MD与AB交于点H，

∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG.

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH，

即∠DHA=∠FDM+90°.

∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°.

即MD⊥ME.

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