C级　拔尖题

14.(2013年内蒙古赤峰)如图4­3­47，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60 cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值;如果不能，请说明理由;

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由.

参考答案

10.D　11.12

12.5　解析：连接BP，交AC于点Q，连接QD.∵点B与点D关于AC对称，∴BP的长即为PQ+DQ的最小值，

∵CB=4，DP=1.∴CP=3，在Rt△BCP中，

BP=BC2+CP2=42+32=5.

13.(1)证明：在矩形ABCD中，

AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中点，∴AM=DM.

∴△ABM≌△DCM(SAS).

(2)解：四边形MENF是菱形.证明如下：

E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE=MF.

∴四边形MENF是平行四边形.

由(1)，得BM=CM，∴ME=MF.

∴四边形MENF是菱形.

(3)2∶1　解析：当AD∶AB=2∶1时，四边形MENF是正方形.理由：

∵M为AD中点，∴AD=2AM.

∵AD∶AB=2∶1，∴AM=AB.

∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°.

同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°.

∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形.

14.解：(1)在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，

∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF.

(2)能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.

当AE=AD时，四边形AEFD是菱形，即60-4t=2t.

解得t=10 s，

∴当t=10 s时，四边形AEFD为菱形.

(3)①当∠DEF=90°时，由(2)知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠A=60°，∴AD=AE•cos60°=t.

又AD=60-4t，即60-4t=t，解得t=12 s.

②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠A=60°，则∠ADE=30°.

∴AD=2AE，即60-4t=4t，解得t=152 s.

③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在.

综上所述，当t=152 s或t=12 s时，△DEF为直角三角形.

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