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一、选择题

1.(2013•成都)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是(　　)

A.y=-x+3 B.y= C.y=2x D.y=-2x2+x-7

1.C

2.(2013•绍兴)若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是(　　)

A.90° B.120° C.150° D. 180°

2.D

3.(2013•潍坊)对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[ ]=5，则x的取值可以是(　　)

A.40 B.45 C.51 D.56

3.C

4.(2013•乌鲁木齐)对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)=(a，-b).如f(1，2)=(1，-2);g(a，b)=(b，a).如g(1，2)=(2，1).据此得g(f(5，-9))=(　　)

A.(5，-9) B.(-9，-5) C.(5，9) D.(9，5)

4.D

5.(2013•常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直径”最小的是(　　)

A. B. C. D.

5.C

二、填空题

6.(2013•上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .

6.30°

7.(2013•宜宾)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 .

7.4π

8.(2013•淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使 截得的 三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条.

8.3

9.(2013•乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x).即当n为非负整数时，若n- ≤x

给出下列关于(x)的结论：

①(1.493)=1;

②(2x)=2(x);

③若( x-1)=4，则实数x的取值范围是9≤x<11;

④当x≥0，m为非负整数时，有(m+2013x)=m+(2013x);

⑤(x+y)=(x)+(y);

其中，正确的结论有 (填写所有正确的序号).

9.①③④

三、解答题

10.(2013•莆田)定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点;

(2)求出线段AD的长.

10.解：(1)∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴ ，即 ，

∴AD2=AC•CD.

∴点D是线段AC的黄金分割点.

(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD= AC= .

11.(2013•大庆)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin(180°-α)，cosα=-cos(180°-α)

(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值;

(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.

11.解：(1)由题意得，

sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= ，

cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=- ，

sin150°=sin(180°-150°)=sin30°= ;

(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4，

∴三个内角分别为30°，30°，120°，

①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为 ，- ，

将 代入方程得：4×( )2-m× -1=0，

解得：m=0，

经检验- 是方程4x2-1=0的根，

∴m=0 符合题意;

②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为 ， ，不符合题意;

③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为 ， ，

将 代入方程得：4×( )2 -m× -1=0，

解得：m=0，

经检验 不是方程4x2-1=0的根.

综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°.

12.(2013•安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引 一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);

(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： ;

(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E.若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么?若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)

12.解：(1)如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE;

(2)∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

∵AE∥DC，

∴∠AEB=∠C，

∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB，

∴AB=AE.

∵在△ABE和△DEC中，

，

∴△ABE∽△DEC，

∴ ，

∴ ;

(3)作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∴∠BFE=∠CHE=90°.

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF=EG=EH，

在Rt△EFB和Rt△EHC中

，

∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)，

∴∠3=∠4.

∵BE=CE，

∴∠1=∠2.

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ABC=∠DCB，

∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ABCD是“准等腰梯形”.

当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：

如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

∴∠B=∠C，

∴ABCD是“准等腰梯形”.

如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

∴∠EBF=∠ECH.

∵BE=CE，

∴∠3=∠4，

∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，

即∠1=∠2，

∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.

13.(2013•北京)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点.已知点D( ， )，E(0，-2)，F(2 ，0).

(1)当⊙O的半径为1时，

①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 .

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围;

(2)若线段EF上的所有点都是某个 圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.

13.解：(1)①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，

∵⊙O的半径为1，∴RO=1，

∵EO=2，

∴∠OER=30°，

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，

∴E点是⊙O的关联点，

∵D( ， )，E(0，-2)，F(2 ，0)，

∴OF>EO，DO

∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，

故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E;

故答案为：D，E;

②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，

需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，

由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，

连接BC，则PC= =2BC=2r，

∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r;

由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，

如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，

过点O作l轴 的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF= = ，

∴∠OGF=60°，

∴OH=OGsin60°= ;

sin∠OPH= ，

可得点P1与点G重合，

过点P2作P2M⊥x轴于点M，

可得∠P2OM=30°，

从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，

∴0≤m≤ ;

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点;

考虑临界情况，如图4，

即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN= EF=2，

此时，r=1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1.

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