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北京2012年中考二模试题分类汇编：代几综合题

图像信息+几何最值

1. (延庆)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4,2)，C(n,-2)(其中n>0)，点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形.

(1)结合以上信息及图2填空：图2中的m= ;

(2)求B、C两点的坐标及图2中OF的长;

(3)若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。

图3

25. (1)m= …………..1分

(2)∵四边形ODEF是等腰梯形

∴可知四边形OABC是平行四边形……..2分

由已知可得：S△AOC=8,连接AC交x轴于R点

又∵A(4,2)，C(n,-2)

∴S△AOC= S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8

∴OR=4…………….……….3分

∴OB=2RO=8，AR⊥OB

∴B(8,0) ,C(4，-2)且四边形OABC是菱形………….4分

∴OF=3AO= …………..5分

(3) 如图3，在OB上找一点N使ON=OG,

连接NH ………….6分

∵OM平分∠AOB

∴∠AOM=∠BOM

∵OH=OH

∴△GOH≌△NOH

∴GH=NH………….………….7分

∴GH+AH=AH+HN

根据垂线度最短可知，当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点

∴GH+AH的最小值=AN=2………….8分

动点+面积问题

1. (门头沟)如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为 ，点A、D的坐标分别为(-4，0)，(0，4). 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t(秒)时，△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).

(1)求出点C的坐标;

(2)求S随t变化的函数关系式;

(3)当t为何值时，S有最大值?并求出这个最大值.

25. 解：(1)把y=4代入y=- x+ ，得x=1.

∴C点的坐标为(1，4). ……………………………………….1分

(2) 当y=0时，- x+ =0，

∴x=4.∴点B坐标为(4，0).

过点C作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3.

∴BC= = =5.

∴sin∠ABC= = .

① 0

则QN=BQ•sin∠ABC= t.

∴S= OP•QN= (4-t)× t =- t2+ t(0

②当4

连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN= t.

∴S= OP•QN= ×(t-4)× t.

= t2- t(4

③当5

连接QO，QP.

S= ×OP×OD= (t-4)×4.

=2t-8(5

S随t变化的函数关系式是 .

(3)①当0

∵- <0

当t= =2时，

S最大= = . ……5分

②当4

∵ >0∴在4

∴当t=5时，S最大= ×52- ×5=2. …………………………..6分

③当5

在S=2t-8中，∵2>0，∴S随t的增大而增大.

∴当t=6时，S最大=2×6-8=4………7分

∴综合三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4.………8分

动点+面积+特殊四边形问题

2.(昌平24)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， ).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标;

(3)如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2).

①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围;

②当S= 时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标.

24. 解：(1)据题意，A(0，2)，B(2，2)， C(2，0) .

∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )，

∴ ∴

∴ . …………………… 2分

(2)点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A.

连接AD，与对称轴的交点即为M.

∵ A(0，2)、 D(4， )，

∴ 直线AD的解析式为： .

当x=1时， ，

∴ M(1， ). ………………………………… 4分

(3) ① AP=2t, PB=2-2t, BQ=t.

在Rt△PBQ中,∠B=90°，

∴ .

∴ .

∴ ,(0≤t≤1).

②当 ， .

∴ , >1(舍).

∴ P(1，2)，Q(2， ).

∴ PB = 1.

根据分析，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB.

∴ R(3， ).

此时，点R(3， )在抛物线 上.……… 8分

动点+直角三角形

3.(石景山)已知：抛物线y=-x2+2x+m-2交y轴于点A(0，2m-7).与直线y= x交于点B、C(B在右、C在左).

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得 ，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由;

(3)射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ(直角边分别平行于坐标轴)，设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y=-x2+2x+m-2有公共点，求t的取值范围.

解：

25.解：(1)点A(0，2m-7)代入y=-x2+2x+m-2，得m=5

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ………………………2分

(2)由 得 ，

∴B( )，C( )

B( )关于抛物线对称轴 的

对称点为

可得直线 的解析式为 ，

由 ，可得

∴ ………………………5分

(3)当 在抛物线上时，可得 ， ，

当 在抛物线上时，可得 ， ，

舍去负值，所以t的取值范围是 .………………8分

等腰+动点与图形面积

4.(平谷25)如图，抛物线 与x轴交于点A(-2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是

以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标;

(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位

长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M

到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒 3 2个单位

长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物

线的对称轴时，两点停止运动.过点M的直线

l⊥x轴，交AC或BC于点P.求点M的运动时

间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式.

25.解：(1)∵抛物线过点A(-2，0)和B(4，0)

∴ 解得

∴ 抛物线的解析式为 …………1分

(2)抛物线的对称轴为

令x=0，得y=4，∴

设T点的坐标为 ，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E

在Rt△ATD中，

∵TD=h，AD=3

∴ ………………………………………………………………2分

在Rt△CET中，

∵E

∴ET= ，CE=1

∴

∵AT=CT

∴ ，………………………3分

解得 .

∴ . ...............….………………………………………………………………………4分

(3)当 时，AM=BQ=t，

∴AQ=

∵PQ⊥AQ

∴△APM∽△ACO

∴

∴PM=2t

∴ ………………6分

当 时，AM=t

∴BM= .由OC=OB=4，可证BM=PM= .

∵BQ=

∴AQ=

∴ .…………..8分

综上所述，

抛物线与图形面积

5.(大兴25)已知抛物线y = x2 + bx ，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x = c.过点A的直线绕点A (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点B ( x ，y )，交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x = c交于点D，设△AOB的面积为S1，△ABD的面积为S2.

(1) 求这条抛物线的顶点的坐标;

(2) 判断S1与S2的大小关系，并说明理由.

25.解：(1)∵ 抛物线y=x2+bx，在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，

∴ A(2，0)，图象与x轴的另一个交点E的坐标为 (4，0)，对称轴为直线x=2.

∴ 抛物线为 y = x2 +b x经过点E (4，0) .

∴ b= -4，

∴ y = x2 -4x .

∴ 顶点坐标为(2，-4). ………… 2分

(2) S1与S2的大小关系是：S1 = S2 ………… 3分

理由如下：

设经过点A(2，0)的直线为y=kx+b (k≠0).

∴ 0 =2k+b.

∴ k = b.

∴ y= .

∴ 点B 的坐标为(x1 ， )，

点B 的坐标为(x2 ， ).

当交点为B1时，

，

.

.……………………………………… 5分

当交点为B2时，

= .

∴ S1 = S2.

综上所述，S1 = S2. ……………… 8分

6.(通州24)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P′使四边形POP′C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

24. 解：(1)将B、C两点的坐标代入得 …….(1分)

解得： …………….(2分)

所以二次函数的表达式为： ……….(3分)

(2)存在点P，使四边形POP C为菱形.设P点坐标

为(x， )，

PP 交CO于E

若四边形POP C是菱形，则有PC=PO.

连结PP 则PE⊥CO于E，…………………….(4分)

∴OE=EC=

∴ =

解得 = ， = (不合题意，舍去)

∴P点的坐标为( ， )……………….(5分)

(3)过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F….(6分)

设P(x， )，

易得，直线BC的解析式为

则Q点的坐标为(x，x-3).

当 时，四边形ABPC的面积最大=

此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积 .

抛物线+图形变换+几何最值

7.(丰台25)如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A( ，0)，C(0，2).

(1) 抛物线 经过点B、C，求该抛物线的解析式;

(2)将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度 (0°< <90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点落在(1)中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标;

(3)如图(2)，将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度 (0°< <180°)，将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当 °时，线段CE的长度最大，最大值为 .

25.解：(1)∵矩形OABC，A( ，0)，C(0，2)，∴B( ，2).

∴抛物线的对称轴为x= .∴b= .……1分

∴二次函数的解析式为： .……2分

(2)①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A’，联结OA’，

设对称轴x= 与x轴交于点D，∴OD= .

∴OA’ = OA= .

在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D =3. ∴A’( ，-3) . ……4分

②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，

在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D =1.

∴C’( ，1).……6分

(3) 120°，4.……8分

抛物线+特殊四边形

8.(顺义25)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象经过点A(-3，6)，并与x轴交于点B(-1，0)和点C，顶点为P.(1)求二次函数的解析式;

(2)设D为线段OC上的一点，若 ，求点D的坐标;

(3)在(2)的条件下，若点M在抛物线 上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标;若不存在，说明理由.

25.解：(1)将点A(-3，6)，B(-1，0)代入 中，得

解得

∴二次函数的解析式为 .…………………………… 2分

(2)令 ，得 ，解得 ， .

∴点C的坐标为(3，0).

∵ ，

∴顶点P的坐标为(1，-2).…………………………………………… 3分

过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F.

易得 .

， .

又 ，

∴△ACB∽△PCD.…………………… 4分

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∴点D的坐标为 .………… 5分

(3)当BD为一边时，由于 ，

∴点M的坐标为 或 …………… 7分

当BD为对角线时，点M的坐标为 …………… 8分

9.(海淀24) 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C.

(1)求点B的坐标 (用含m的代数式表示);

(2)D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，

Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.

备用图

24.解：(1)

∵ ，

∴抛物线的顶点B的坐标为 . …………1分

(2)令 ，解得 , .

∵ 抛物线 与x轴负半轴交于点A，

∴ A (m, 0), 且m<0. ……………………2分

过点D作DFx轴于F.

由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO=

∴ DF =

由抛物线的对称性得 AC = OC.

∴ AF : AO=3 : 4.

∵ DF //EO,

∴ △AFD∽△AOE.

∴

由E (0, 2)，B ，得OE=2, DF= .

∴

∴ m = -6.

∴ 抛物线的解析式为 …………3分

(3)依题意，得A(-6,0)、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为 ,

直线BC为 . 作点C关于直线BO的对称点C (0，3)，连接AC 交BO

于M，则M即为所求.

由A(-6，0)，C (0, 3)，可得

直线AC的解析式为 .

由 解得

∴ 点M的坐标为(-2, 2). ……………4分

由点P在抛物线 上，设P (t， ).

(ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.

如右图，过M作MG x轴于G,

过P1作P1H BC于H,

则xG= xM =-2, xH= xB =-3.

由四边形AM P1Q1为平行四边形，

可证△AMG≌△P1Q1H .

可得P1H= AG=4.

∴ t -(-3)=4.

∴ t=1.

∴ .………………5分

如右图，同方法可得 P2H=AG=4.

∴ -3- t =4.

∴ t=-7.

∴ . …………6分

(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时,

如右图，过M作MHBC于H,

过P3作P3G x轴于G,

则xH= xB =-3，xG= =t.

由四边形AP3MQ3为平行四边形，

可证△A P3G≌△MQ3H .

可得AG= MH =1.

∴ t -(-6)=1.

∴ t=-5.

∴ . …………………7分

综上，点P的坐标为 、 、 .

抛物线+圆+特殊四边形

10.(密云24) 如图，在直角坐标系 中，以 轴为对称轴的抛物线经过直线 与 轴的交点 和点 ( ，0).

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式;

(2)将这条抛物线沿 轴向右平移，使其经过坐标原点.

①在题目所给的直角坐标系 中，画出平移后的

抛物线的示意图;

②设平移后的抛物线的对称轴与直线 (B是直线 与 轴的交点)相交于 点，判断以 为圆心、 为半径的圆与直线 的位置关系，并说明理由;

(3) 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求 点的坐标，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形.

24.(本小题满分7分)

(1)设 ，则 . A(0,2).

设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为： .

∵过点 ( ，0)， 有 .解得 .

所求抛物线解析式为 -----2分

(2)①平移后的抛物线如图所示: --------------------------3分

②相切.

理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的

对称轴为直线 .

∵ 点是对称轴与直线 的相交，

易求得点 的坐标为( ， ).

由勾股定理，可求得 .

设原点O到直线AB的距离为d，则有 .

∵点A为(0，2)，点B为( ，0)， .

. .

这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等.

以 为圆心、 为半径的圆与直线 相切. -------------------5分

(3)设 点的坐标为( ，p).

∵抛物线的对称轴与 轴互相平行，即AO∥PC.

只需 ，即可使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形.

由(2)知，点 的坐标为( ， )，

. .解得 ， .

点的坐标为 ( ， )或 ( ， ).-----------7分

因特殊情况产生相似

11.(朝阳25) 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过A(-3,0)、B(4,0)两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值;

(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

25. 解：(1)∵抛物线 经过A(-3,0)，B(4,0)两点，

∴ 解得

∴所求抛物线的解析式为 . ……………………………2分

(2)如图，依题意知AP=t，连接DQ，

由A(-3,0)，B(4,0)，C(0,4)，

可得AC=5，BC= ，AB=7.

∵BD=BC，

∴ .…………………………3分

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD=BC，

∴∠ DCB= ∠CDB.

∴∠CDQ= ∠DCB.

∴DQ∥BC.

∴△ADQ∽△ABC.

∴ .

∴ .

∴ .

解得 .…………………4分

∴ .…………………………5分

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 .

(3)设抛物线 的对称轴 与x轴交于点E.

点A、B关于对称轴 对称，连接BQ交该对称轴于点M.

则 ，即 . …………6分

当BQ⊥AC时，BQ最小. ………………7分

此时，∠EBM= ∠ACO.

∴ .

∴ .∴ ，解得 .

∴M( ， ). ………………………8分

即在抛物线 的对称轴上存在一点M( ， )，使得

MQ+MA的值最小.

抛物线+等分面积

12.(东城区25)如图，在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，与 轴交于A、B两点，点B的坐标为

(1) 求二次函数的解析式及顶点D的坐标;

(2) 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点 的坐标;

(3) 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△ 的面积最大?最大面积是多少?并求出 此时点P的坐标.

25.解：(1)由题意，得：

解得：

所以，所求二次函数的解析式为： ……2分

顶点D的坐标为(-1，4).……3分

(2)易求四边形ACDB的面积为9.

可得直线BD的解析式为y=2x+6

设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.

① 当 时，

易得E点坐标(-2，-2)，直线OE的解析式为y=-x.

设M 点坐标(x，-x)，

∴ ……4分

② 当 时，同理可得M点坐标.

∴ M 点坐标为(-1，4)……5分

(3)连接 ，设P点的坐标为 ，因为点P在抛物线上，所以 ，

所以 ……6分

……7分

因为 ，所以当 时， . △ 的面积有最大值 ……8分

所以当点P的坐标为 时，△ 的面积有最大值，且最大值为

抛物线+几何定值

13.(房山25)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒，抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)、B(1，-5)、D(4，0).

⑴求c、b(可以用含t的代数式表示);

⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M.在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由;若不变，求出∠AMP的值;

⑶在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

25.解：解：⑴把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，------------------------1分

再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，

∵t>0，

∴b=-t;-----------------------------------------------3分 ⑵不变.

当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，

∵tan∠AMP=1，

∴∠AMP=45°-----------------------------------------------5分

⑶

抛物线+相似

14.(怀柔25)如图，已知抛物线过点D(0， )，且在x 轴上截得 线段AB长为6，若顶点C的横坐标为4.

(1) 求二次函数的解析式; (2) 在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标; (3) 在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

25. 解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，

∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); ………1分

设抛物线解析式为：y=a(x-h)2+k，

∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0， )，

∴

解得， ， .

∴ 二次函数的解析式为：y= (x-4)2- ， 或y= x - x+ ……………2分

(2)∵点A、B关于直线x=4对称， ∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，

∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………3分

∴DB与对称轴的交点即为所求点P.

设直线x=4与x轴交于点M，

∵PM∥OD， ∴∠BPM=∠BDO，

又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，

∴ ， ∴ ，

∴点P的坐标为(4， )………………………4分

(3)由⑴可知，C(4， )，又∵AM=3，

∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，

∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o

① 当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，

则∠QBN=60o，∴QN=3 ，BN=3，ON=10，

此时点Q(10， )，…………………………………………………5分

如果AB=AQ，由对称性可知Q(-2， )………………………6分

② 当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，

此时点Q的坐标是(4， )，………………………………………7分

经检验，点(10， )与(-2， )都在抛物线上，

综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，

点Q的坐标为(10， )或(-2， )或(4， ).…………………………8分

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