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北京2012年中考数学二模试题分类汇编：代数综合题

整数根、系数是整数问题

1.(昌平23.)已知m为整数，方程 =0的两个根都大于-1且小于 ，当方程的两个根均为有理数时，求m的值.

23.解： 设 . ………………………………1分

∵ 的两根都在 和 之间，

∴ 当 时， ，即： .…………2分

当 时， ，即： . ……………3分

∴ .…………………4分

∵ 为整数，

∴ . …………………………5分

① 当 时，方程 ，

∴ 此时方程的根为无理数，不合题意.

② 当 时，方程 ，符合题意.

③ 当 时，方程 ， ，不符合题意.

综合①②③可知， .…………………… 6分

2.(房山)23.)已知：关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.

⑴当m取何整数值时，关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0的根都是整数;

⑵若抛物线 向左平移一个单位后，过反比例函数 上的一点(-1,3)，

①求抛物线 的解析式;

②利用函数图象求不等式 的解集.

解：⑴

⑵①

②

23.解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分

当m≠0，可解得x1=1，x2= -----------------2分

∴ 时，x均有整数根--------------------------------------3分

综上可得 时，x均有整数根

⑵①抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x+1)2-3(m-1)(x+1)+2m-3-------------4分

过点(-1,3)代入解得m=3

∴抛物线解析式为y= 3x2-6x+3----------5分

②k=-1×3=-3-----------------------6分

∴x>1或-1

3.(平谷23)已知抛物线 .

(1)求证此抛物线与 轴有两个不同的交点;

(2)若 是整数，抛物线 与 轴交于整数点，求 的值;(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为 ，抛物线与 轴的两个交点中右侧交点为 .若 为坐标轴上一点，且 ，求点 的坐标.

23.解：(1)证明：令 ，则 .

因为 ， 1分

所以此抛物线与 轴有两个不同的交点. 2分

(2)因为关于 的方程 的根为 ，

由 为整数，当 为完全平方数时，此抛物线与 轴才有可能交于整数点.

设 (其中 为整数)， 3分

所以　 .

因为　 与 的奇偶性相同，

所以　 或

解得　 .

经检验，当 时，关于 的方程 有整数根.　所以　 ...................................5分

(3) 当 时，此二次函数解析式为

，则顶点 的坐标为( ).

抛物线与 轴的交点为 、 .

设抛物线的对称轴与 轴交于 ，则 .

在直角三角形 中，由勾股定理，得 ，

由抛物线的对称性可得， .

又　 ，　即　　 .

所以 △ 为等腰直角三角形.且 .

所以　 为所求的点. 6分

若满足条件的点 在 轴上时，设 坐标为 .

过 作 轴于 ，连结 、 .则 .

由勾股定理，有 ; .

即　 .　解得　　 .

所以 为所求的点. 7分

综上所述满足条件的 点的坐标为( )或( ).

4.(门头沟23) 已知抛物线y=ax2+x+2.

(1)当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴;

(2)若代数式-x2+x+2的值为正整数，求x的值;

(3)若a是负数时，当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m，0);当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.

23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.

∴抛物线的顶点坐标为( ， )，对称轴为直线x= .……2分

(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.

又因为函数的最大值为 ，∴y的正整数值只能为1或2.

当y=1时，-x2+x+2=1，解得 ， …………3分

当y=2时，-x2+x+2=2，解得x3=0,x4=1.……………4分

∴x的值为 ， ，0或1.

(3)　　当a<0时，即a1<0，a2<0.

经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为 ,

经过点N的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为 .…………5分

∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)

∴直线 在直线 的左侧……………6分

∴ < . ∴a1

5.(怀柔23)已知抛物线 (m为常数) .

(1)若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，求m的整数值;

(2)在(1)问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式;

(3)若点M(x1，y1)与点N(x1+k，y2)在(2)中抛物线上 (点M、N不重合), 且y1=y2. 求代数式 的值.

23.解：(1)由题意可知，△= =5-4m>0，.…………………1分

又抛物线与 轴交于两个不同的整数点，

∴5-4m为平方数，

设k2 =5-4m，则满足要求的m值为1，-1，-5，-11，-19……

∴满足题意的m整数值的代数式为 (n为正整数). …………………………3分

(2)∵抛物线顶点在第三象限，

∴只有m=1符合题意，

抛物线的解析式为 .…………………4分

(3)∵点M 与N 在抛物线 上，

∴ ，

∵

∴

整理，得

∵点M、N不重合，∴k≠0.

∴2x1 =-k-1.……………………………………6分

∴ = =6.………7分

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为M，直线 ，点 为 轴上的一个动点，过点P作 轴的垂线分别交抛物线 和直线 于点A，点B.

⑴直接写出A，B两点的坐标(用含 的代数式表示);

⑵设线段AB的长为 ，求 关于 的函数关系式及 的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;

(3)已知二次函数 ( ， ， 为整数且 )，对一切实数 恒有 ≤ ≤ ，求 ， ， 的值.

25.解：(1) ， .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

(2) =AB= = .

∴ = = .﹍﹍3分

∴ 当 时， 取得最小值 . ﹍﹍ 4分

当 取最小值时，线段OB与线段PM的位置

关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图10)

﹍﹍﹍﹍﹍ 5分

(3) ∵ 对一切实数 恒有 ≤ ≤ ，

∴ 对一切实数 ， ≤ ≤ 都成立. ( ) ①

当 时，①式化为 0≤ ≤ .

∴ 整数 的值为0.﹍﹍﹍﹍﹍ 6分

此时，对一切实数 ， ≤ ≤ 都成立.( )

即 对一切实数 均成立.

由②得 ≥0 ( ) 对一切实数 均成立.

∴

由⑤得整数 的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

此时由③式得， ≤ 对一切实数 均成立. ( )

即 ≥0对一切实数 均成立. ( )

当a=2时，此不等式化为 ≥0，不满足对一切实数 均成立.

当a≠2时，∵ ≥0对一切实数 均成立，( )

∴

∴ 由④，⑥，⑦得 0 < ≤1.

∴ 整数 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分

∴ 整数 ， ， 的值分别为 ， ， .

利用数形结合研究交点、方程的根

1.(东城23.) 已知关于 的方程 .

(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围;

(2)若正整数 满足 ，设二次函数 的图象与 轴交于 两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象恰好有三个公共点时，求出 的值(只需要求出两个满足题意的k值即可).

23.解：(1)

.……2分

由题意得， >0且 .

∴ 符合题意的m的取值范围是 的 一切实数. ……3分

(2)∵ 正整数 满足 ，

∴ m可取的值为1和2 .

又∵ 二次函数 ，

∴ =2.……4分

∴ 二次函数为 .

∴ A点、B点的坐标分别为(-1,0)、(3,0).

依题意翻折后的图象如图所示.

由图象可知符合题意的直线 经过点A、B.

可求出此时k的值分别为3或-1.……7分

注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案.

2.(海淀23)已知抛物线 与x轴交于A、B两点.

(1)求m的取值范围;

(2)若m>1, 且点A在点B的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式;

(3)设(2)中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l //x轴, 将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线 与新图象只有一个公共点P(x0, y0)且 y07时, 求b的取值范围.

23. 解：(1)∵ 抛物线 与x轴交于A、B两点，

∴

由①得 ，

由②得 ，

∴ m的取值范围是 且 . …………2分

(2)∵ 点A、B是抛物线 与x轴的交点，

∴ 令 ，即 .

解得 ， .

∵ ，∴

∵ 点A在点B左侧，

∴ 点A的坐标为 ，点B的坐标为 . …………………………3分

∴ OA=1，OB= .

∵ OA : OB=1 : 3，

∴ .

∴ .

∴ 抛物线的解析式为 . ………………………………………4分

(3)∵ 点C是抛物线 与y轴的交点，

∴ 点C的坐标为 .

依题意翻折后的图象如图所示.

令 ，即 .

解得 , .

∴ 新图象经过点D .

当直线 经过D点时，可得 .

当直线 经过C点时，可得 .

当直线 与函数

的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得

.

整理得

由 ，得 .

结合图象可知，符合题意的b的取值范围为 或 . ……………7分

通州22.已知关于 的方程

(1)求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根.

(2)若关于 的二次函数 的图象经过坐标原点(0,0)，求抛物线的解析式.

(3)在直角坐标系 中，画出(2)中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 与(2)中的函数图象只有两个交点时，求 的取值范围.

22. .

解：(1)分两种情况讨论.

① 当 时，方程为

，方程有实数根,………………………………………….(1分)

②当 ，则一元二次方程的根的判别式

= 不论 为何实数， 成立，

方程恒有实数根 ………………………………………….(2分)

综合①、②可知 取任何实数，

方程 恒有实数根………………….(3分)

(2) 二次函数 的图象与经过(0,0)

………………………………………….(4分)

二次函数解析式为： ………………………….(5分)

(3)在(2)条件下，直线 与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知

当 时，

得

由

得 　 ………………………….(6分)

综上所述可知：当 时，

直线 与(2)中的图象有两个交点. ………….(7分)

23.(延庆) 已知:关于x的一元二次方程

(1)若此方程有实根,求m的取值范围;

(2)在(1)的条件下,且m取最小的整数,求此时方程的两个根;

(3)在(2)的前提下,二次函数 与x轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P,设直线l的解析式为y=x+b,若直线l与半圆P只有两个交点时,求出b的取值范围.

23. (1)解：∵关于x的一元二次方程有实根 ∴m≠0，且△≥0…..1分

∴△=(2m+2)2-4m(m-1)=12m+4≥0

解得m≥

∴当m≥ ，且 m≠0时此方程有实根,……..2分

(2)解：∵在(1)的条件下,当m取最小的整数,

∴m=1…………..3分

∴原方程化为：x2-4x=0

x(x-4)=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分

(3)解：如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0………5分

②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，如图由题意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，

∵DP=2 ∴EP= ………….6分

∴OC= 即b=

∴当0≤b< 时，直线l与半圆P只有两个交点。…………..7分

朝阳22.已知二次函数 .

(1)当c=-3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标;

(2)若-2

22. 解：(1)由题意，得 .

当 时， .

解得 ， .

∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1，0)………2分

(2)抛物线 的对称轴为 . ………………3分

① 若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为(-1，0).

有 ，解得 .………………4分[来源:学科网]

② 若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有

当 时， ≤0，

∴ ≤0，解得 ≤0.

当 时， ，

∴ ，解得 .

∴ ≤0.…………………………6分

综上所述，c的取值范围是 或 ≤0.

利用反比例函数的性质分析问题

23.(石景山)已知：直线 分别与 x轴、y轴交于点A、点B，点P( ，b)在直线AB 上，点P关于 轴的对称 点P′ 在反比例函数 图象上.

(1) 当a=1时，求反比例函数 的解析式;

(2) 设直线AB与线段P'O的交点为C.当P'C =2CO时，求b的值;

(3) 过点A作AD//y轴交反比例函数图象于点D，若AD= ，求△P’DO的面积.

解：

23.(1)∵点 在直线 上, 时，

= ………………………1分

∴ ，

∴ ，代入 得 ，

∴ …………………………2分

(2)联结

∵点 和点 关于 轴对称

∴ ∥ 轴

∴

∴ ∶ ∶ …………3分

∵ ∴ =

∵ 与 轴交于点 、点

∴ ， 可得

∴ ∴ =4

∴ ………………………5分

(3)当点 在第一象限时：

∵点 和点 关于 轴对称且

∴

∵ ∴

∵ 在 上

∵

∴ …………6分

当点 在第二象限时：

∴

∵

∴ ………7分

西城23. 在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线 ( )上一点，点A

的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线 ( )

交于点C . x轴上一点 位于直线AC右侧，AD的中点为E.

(1)当m=4时，求△ACD的面积(用含 ， 的代数

式表示);

(2)若点E恰好在双曲线 ( )上，求m的值;

(3)设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当

点D的坐标为 时，若△BDF的面积为1，

且CF∥AD，求 的值，并直接写出线段CF的长.

23.解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为 ， .(如图6)

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分

∵ ， ，

∴ 点A在第一象限，点C在第四象限， .

当m=4时， .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

(2) 作EG⊥x轴于点G.(如图7)

∵ EG∥AB，AD的中点为E，

∴ △DEG∽△DAB， ，G为BD的中点.

∵ A，B，D三点的坐标分别为 ， ， ，

∴ ， ， .

∴ 点E的坐标为 .

∵ 点E恰好在双曲线 上，

∴ .①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

∵ ，

∴ 方程①可化为 ，解得 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

(3)当点D的坐标为 时，由(2)可知点E的坐标为 .(如图8)

∵ ，

∴ .

∴ . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分

设直线BE的解析式为 (a≠0).

∵ 点B，点E的坐标分别为 ， ，

∴

解得 ， .

∴ 直线BE的解析式为 .

∵ 线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F， ，

∴ 点F的坐标为 ， .

∴ .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分

线段CF的长为 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分

丰台23.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;

(2)如果抛物线 与x轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k的值;

(3)直线y=x与(2)中的抛物线在第一象限内的交点为点C，点P是射线OC上的一个动点(点P不与点O、点C重合)，过点P作垂直于x轴的直线，交抛物线于点M，点Q在直线PC上，距离点P为 个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式.

23.解：(1)由题意得△>0. ∴△= .……1分

∴解得 .……2分

(2)∵ 且k为正整数，∴ 或2.……3分

当 时， ，与x轴交于点(0，0)、(4，0)，符合题意;

当 时， ，与x轴的交点不是整数点，故舍去.

综上所述， .……4分

(3)∵ ∴点C的坐标是(5，5).∴OC与x轴的夹角为45°.

过点Q作QN⊥PM于点N ，(注：点Q在射线PC上时，结果一样，所以只写一种情况即可)

∴∠NQP=45°， .

∵PQ= ，∴NQ=1.

∵P( )，则M( )，∴PM= .……5分

∴ .

∴当 时， ;……6分

当 时， .……7分

23.(顺义)如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点(不与A、B重合)，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D.设OC=x，四边形OCPD的面积为S.

(1)若已知A(4，0)，B(0，6)，求S与x之间的函数关系式;

(2)若已知A(a，0)，B(0，b)，且当x= 时，S有最大值 ，求直线AB的解析式;

(3)在(2)的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标.

23.解：(1)设直线AB的解析式为 ，

由A(4，0)，B(0，6)，得

解得

∴直线AB的解析式为 ………………… 1分

∵OC=x，∴ .

∴ .

即 (0< x <4)……………… 2分

(2)设直线AB的解析式为 ，

∵OC=x，∴ .

∴ .

∵当x= 时，S有最大值 ，

∴ 解得

∴直线AB的解析式为 .…………………… 3分

∴A( ，0)，B(0，3).

即 ， .………………… 5分

(3)设点M的坐标为( ， )，

由点M在(2)中的直线AB上，

∴ .

∵点M到x轴、y轴的距离相等，

∴ 或 .

当 时，M点的坐标为(1，1).

过M点的反比例函数的解析式为 .

∵点N在 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，

∴点N的坐标为 .…………………… 6分

当 时，M点的坐标为(3，-3)，

过M点的反比例函数的解析式为 .

∵点N在 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，

∴点N的坐标为 .………………………… 7分

综上，点N的坐标为 或 .

大兴

24.已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点(1，2).

(1)如果用含a的代数式表示b，那么b= ;

(2)如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为(-1，0).

①求二次函数的解析式;

②在平面直角坐标系中，如果点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，则称点P为等距点.求出这个二次函数图像上所有等距点的坐标.

(3)当 a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点M(m，0)，点N(n，0).如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点(1，0)的右边. 试比较a1和a2的大小，并说明理由.

24.解：(1) ……………………………………………1分

(2)①∵二次函数 经过点(1，2)和(-1，0)

解，得

即 …………………………………2分

② 该函数图像上等距点的坐标即为此函数与函数 和函数 的交点坐标 ，

解得P1( ) P2( )

P3( ) P4( )………………4分

(3) ∵二次函数与x轴正半轴交于点M(m,0)且

当a= 时

∴

∴

同理

∴ …………………………………………7分

密云23.已知关于x的方程 ，其中a、b为实数.

(1)若此方程有一个根为2 a(a <0)，判断a与b的大小关系并说明理由;

(2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围.

23.(本小题满分7分)

解：(1)∵ 方程 有一个根为2a ，

∴ .整理，得 .

∵ ， ∴ ，即 . ------------------3分

(2) .

∵ 对于任何实数 此方程都有实数根，

∴ 对于任何实数 都有 ≥0 ，即 ≥0.

∴ 对于任何实数 都有b≤ .

∵ ，

当 时， 有最小值 .

∴ b的取值范围是b≤ --------------------7分

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