【编者按】为了丰富同学们的学习生活，威廉希尔app 中考频道为同学们搜集整理了中考数学模拟题：2012年广州中考数学试题(有答案和解释)，供大家参考，希望对大家有所帮助!

2012年广州中考数学试题(有答案和解释)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1.(2012•广州)实数3的倒数是(　　)

A.﹣ 　　B. 　　C.﹣3　　D.3

考点： 实数的性质。

专题： 常规题型。

分析： 根据乘积是1的两个数互为倒数解答.

解答： 解： ∵3× =1，

∴3的倒数是 .

故选B.

点评： 本题考查了实数的性质，熟记倒数的定义是解题的关键.

2.(2012•广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为(　　)

A.y=x2﹣1　　B.y=x2+1　　C.y=(x﹣1)2　　D.y=( x+1)2

考点： 二次函数图象与几何变换。

专题： 探究型。

分析： 直接根据上加下减的原则进行解答即可.

解答： 解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1.

故选A.

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

3.(2012•广州)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　)

A.四棱锥　　B.四棱柱　　C.三棱锥　　D.三棱柱

考点： 由三视图判断几何体。

分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

解答： 解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，

由俯视图为三角形，可得为棱柱体，

所以这个几何体是三棱柱;

故选D.

点评： 本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力.

4.( 2 012•广州)下面的计算正确的是(　　)

A.6a﹣5a=1　　B.a+2a2=3a3　　C.﹣(a﹣b)=﹣a+b　　D.2(a+b)=2a+b

考点： 去括号与添括号;合并同类 项。

分析： 根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数 ，字母和字母的指数不变;去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案.

解答： 解：A、6a﹣5a=a，故此选项错误;

B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误;

C、﹣(a﹣b)=﹣a+b，故此选项正确;

D、2(a+b)=2a+2b，故此选项错误;

故选：C.

点评： 此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘法分配律的应用，不要漏乘.

5.(2012•广州)如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是(　　)

A.26　　B.25　　C.21　　D.20

考点： 等腰梯形的性质;平行四边形的判定与性质。

分析： 由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长.

解答： 解：∵BC∥AD，DE∥AB，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE=AD=5，

∵EC=3，

∴BC=BE+EC=8，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC=4，

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.

故选C.

点评： 此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质.此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用.

6.(2012•广州)已知|a﹣1|+ =0，则a+b=(　　)

A.﹣8　　B.﹣6　　C.6　　D.8

考点： 非负数的性质：算术平方根;非负数的性质：绝对值。

专题： 常规题型。

分析： 根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

解答： 解：根据题意得，a﹣1=0，7+b=0，

解得a=1，b=﹣7，

所以，a+b=1+(﹣7)=﹣6.

故选B.

点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.

7.(2012•广州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是(　　)

A. 　　B. 　　C. 　　D.

考点： 勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。

专题： 计算题。

分析： 根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离.

解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，

根据勾股定理得：AB= =15，

过C作CD⊥AB，交AB于点D，

又S△ABC= AC•BC= AB•CD，

∴CD= = = ，

则点C到AB的距离是 .

故选A

点评： 此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

8.(2012•广州)已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是(　　)

A.a+ cb﹣c　　C.acbc

考点： 不等式的性质。

分析： 根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案;注意排除法在解选择题中的应用.

解答： 解：A、∵a>b，c是任意实数，∴a+c>b+c，故本选项错误;

B、∵a>b，c是任意实数，∴a﹣c>b﹣c，故本选项正确;

C、当a>b，c<0时，ac

D、当a>b，c>0时，ac>bc，而此题c是任意实数，故本选项错误.

故选B.

点评： 此题考查了不等式的性质.此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：

(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

9.(2012•广州)在平面中，下列命题为真命题的是(　　)

A.四边相等的四边形是正方形　　B.对角线相等的四边形是菱形　　C.四个角相等的四边形是矩形　　D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

考点： 正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理。

分析： 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例.

解答： 解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误;

B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误;

C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确;

D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误.

故选：C.

点评： 此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

10.( 2 012•广州)如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= 的图象交于A(﹣1，2)、B(1，﹣2)两点，若y1

A.x<﹣1或x>1　　B.x<﹣1或01

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。

专题： 数形结合。

分析： 根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可.

解答： 解：由图象可得，﹣11时，y1

故选D.

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.(2012•广州)已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=　15　度.

考点： 角平分线的定义。

专题： 常规题型。

分析： 根据角平分线的定义解答.

解答： 解：∵∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD= ∠ABC= ×30°=15°.

故答案为：15.

点评： 本题考查了角平分线的定义，熟记定义是解题的关键.

12.(2012•广州)不等式x﹣1≤10的解集是　x≤11　.

考点： 解一元一次不等式。

分析： 首先移项，然后合并同类项即可求解.

解答： 解：移项，得：x≤10+1，

则不等式的解集是：x≤11.

故答案是：x≤11.

点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.

13.(2012•广州)分解因式：a3﹣8a=　a(a+2 )(a﹣2 )　.

考点： 提公因式法与公式法的综合运用。

专题： 常规题型。

分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

解答： 解：a3﹣8a，

=a(a2﹣8)，

=a(a+2 )(a﹣2 ).

故答案为：a(a+2 )(a﹣2 ).

点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

14.(2012•广州)如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　2　.

考点： 旋转的性质;等边三角形的性质。

分析： 由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度.

解答： 解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，

∴BC=AB=6，

∵BC=3BD，

∴BD= BC=2，

∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，

∴△ABD≌△ACE，

∴CE=B D=2.

故答案为：2.

点评： 此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质.此题难度不大，注意旋转中的对应关系.

15.(2012•广州)已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，则k值为　3　.

考点： 根的判别式。

分析： 因为方程有两个相等的实数根，则△=(﹣2 ) 2﹣4k=0，解关于k的方程即可.

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=(﹣2 )2﹣4k=0，

∴12﹣4k=0，

解得k=3.

故答案为：3.

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.

16.(2012•广州)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆;

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆;

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　4　倍，第n个半圆的面积为　22n﹣5π　(结果保留π)

考点： 规律型：图形的变化类。

分析： 根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案.

解答： 解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆;

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆;

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

∴第4个半圆的面积为： =8π，

第3个半圆面积为： =2π，

∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 =4倍;

根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，

则第n个半圆的半径为： =2n﹣2，

第n个半圆的面积为： =22n﹣5π.

故答案为：4，22n﹣5π.

点评： 此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键.

三、解答题(本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(2012•广州)解方程组 .

考点： 解二元一次方程组。

专题： 计算题。

分析： 根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可.

解答： 解： ，

①+②得，4x=20，

解得x=5，

把x=5代入①得，5﹣y=8，

解得y=﹣3，

所以方程组的解是 .

点评： 本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键.

18.(2012•广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.

考点： 全等三角形的判定与性质。

专题： 证明题。

分析： 已知图形∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案.

解答： 证明：∵在△ABE和△ACD中

，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD.

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，用ASA(还有∠A=∠A)即可证出△ABE≌△ACD.

19.(2012•广州)广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图.根据图中信息回答：

(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是　345　，极差是　24　.

(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是　2008　年(填写年份).

(3)求这五年的全年空气质量优良天数的平均数.

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考点： 折线统计图;算术平均数;中位数;极差。

专题： 图表型。

分析： (1)把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答;根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可;

(2)分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，然后即可得解;

(3)根据平均数的求解方法列式计算即可得解.

解答： 解：(1)这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：

333、334、345、347、357，

所以中位数是345;

极差是：357﹣333=24;

(2)2007年与2006年相比，333﹣334=﹣1，

2008年与2007年相比，345﹣333=12，

2009年与2008年相比，347﹣345=2，

2010年与2009年相比，357﹣347=10，

所以增加最多的是2008年;

(3)这五年的全年空气质量优良天数的平均数= = =343. 2天.

点评： 本题考查了折线统计图，要理解极差的概念，中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键.

20.(2012•广州)已知 (a≠b)，求 的值.

考点： 分式的化简求值;约分;通分;分式的加减法。

专题： 计算题。

分 析： 求出 = ，通分得出 ﹣ ，推出 ，化简得出 ，代入求出即可.

解答： 解：∵ + = ，

∴ = ，

点评： 本题考查了通分，约分，分式的加减的应用，能熟练地运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入的方法(即把 当作一个整体进行代入).

21.(2012•广州)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标.

(1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况.

(2)求点A落在第三象限的概率.

考点： 列表法与树状图法;点的坐标。

分析： (1)直接利用表格列举即可解答;

(2)利用(1)中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可.

解答： 解：(1)如下表，

﹣7 ﹣1 3

﹣2 ﹣7，﹣2 ﹣1，﹣2 3，﹣2

1 ﹣7，1 ﹣1，1 3，1

6 ﹣7，6 ﹣1，6 3，6

点A(x，y)共9种情况;

(2)∵点A落在第三象限共有(﹣7，﹣2)(﹣1，﹣2)两种情况，

∴点A落在第三象限的概率是 .

点评： 此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题.

22.(2012•广州)如图，⊙P的圆心为P(﹣3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方.

(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′.根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系.

(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长.

考点： 作图-轴对称变换;直线与圆的位置关系。

专题： 作图题。

分析： (1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可;再根据直线与圆的位置关系解答;

(2)设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度.

解答： 解：(1)如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交;

(2)设直线PP′与MN相交于点A，

在Rt△AP′N中，AN= = = ，

在Rt△APN中，PN= = = .

点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，准确找出点P′的位置是解题的关键.

23.(2012•广州)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费.如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元.

(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式.

(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨?

考点： 一次函数的应用。

专题： 经济问题。

分析： (1)未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数;

超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8;

(2)该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2.

解答： 解：(1)当x≤20时，y=1.9x;

当x>20时，y=1.9×20+(x﹣20)×2.8=2.8x﹣18;

(2)∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费.

∴用水量超过了20吨.

2.8x﹣18=2.2x，

解得x=30.

答：该户5月份用水30吨.

点评： 考查一次函数的应用;得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键.

24.(2012•广州)如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解.

(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h.在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之 间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.

从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标.

注意：这样的平行线有两条，如答图1所示.

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.

因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.

注意：这样的切线有两条，如答图2所示.

解答： 解：(1)令y=0，即 =0，

解得x1=﹣4，x2=2，

∴A、B点的坐标为A(﹣4，0)、B(2，0).

(2)S△ACB= AB•OC=9，

在Rt△AOC中，AC= = =5，

设△ACD中AC边上的高为h，则有 AC•h=9，解得h= .

如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.

设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h= ，

∴CE= = .

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(﹣4，0)，B(0，3)坐标代入，

得到 ，解得 ，∴直线AC解析式为y= x+3.[来源:]

直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位( 个长度单位)而形成的，

∴直线l1的解析式为y= x+3﹣ = x﹣ .

则D1的纵坐标为 ×(﹣1)﹣ = ，∴D1(﹣4， ).

同理，直线AC向上平移 个长度单位得到l2，可求得D2(﹣1， )

综上所述，D点坐标为：D1(﹣4， )，D2(﹣1， ).

(3)如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F.过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条.

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N.

∵A(﹣4，0)，B(2，0)，∴F(﹣1，0)，⊙F半径FM=FB=3.

又FE=5，则在Rt△MEF中，

ME= =4，sin∠MFE= ，cos∠MFE= .

在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3× = ，

FN=MN•cos∠MFE=3× = ，则ON= ，

∴M点坐标为( ， )

直线l过M( ， )，E(4，0)，

设直线l的解析式为y=kx+b，则有

，解得 ，

所以直线l的解析式为y= x+3.

同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x﹣3.

综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x﹣3.

点评： 本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.

25.(2012•广州)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α(60°≤α<90°).

(1)当α=60°时，求CE的长;

(2)当60°<α<90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值.

考点： 平行四边形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理。

专题： 代数几何综合题。

分析： (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解;

(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解;

②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答.

解答： 解：(1)∵α=60°，BC=10，

∴sinα= ，

即sin60°= = ，

解得CE=5 ;

(2)①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF.

理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，

∴AF=FD，

在平行 四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，

在△AFG和△CFD中， ，

∴△AFG≌△CFD(AAS)，

∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，

∴EF=GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF= AD= BC=5，

∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G，

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠ G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG(对顶角相等)，

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF;

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x，

∵CF=GF(①中已证)，

∴CF2=( CG)2= CF2= (200﹣20x)=50﹣5x，

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ )2+50+ ，

∴当x= ，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，

此时，EG=10﹣x=10﹣ = ，

CE= = = ，

所以，tan∠DCF=tan∠G= = = .

点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要.

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