2012年湖北圆中考数学题解析

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2012-12-11

(1)求证:BC是⊙O的切线;

(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;

(3)如果CD=15,BE=10,sinA= ,求⊙O的半径.

【答案】解:(1)证明:连接OB,

∵OB=OA,CE=CB,

∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA,

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

(2)连接OF,AF,BF,

∵DA=DO,CD⊥OA,

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF= ∠AOF=30°。

(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,

∴EG= BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE,

∴sin∠ECG=sin∠A= ,

∴ 。

∴ 。

又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,

由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ,即 ,解得 。

∴⊙O的半径为2AD= 。

【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可求出EG= BE=5,由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,从而求出⊙O的半径。

6. (2012湖北咸宁9分)如图,AB是⊙O的直径,点E是AB上的一点,CD是过E点的弦,过点B的切线交AC的延长线于点F,BF∥CD,连接BC.

(1)已知AB=18,BC=6,求弦CD的长;

(2)连接BD,如果四边形BDCF为平行四边形,则点E位于AB的什么位置?试说明理由.

【答案】解:(1)∵BF与⊙O相切,∴BF⊥AB。

又∵BF∥CD,∴CD⊥AB。

又∵AB是直径,∴CE=ED。

连接CO,设OE=x,则BE=9-x。

由勾股定理得: ,

即 ,解得 。

∴ 。

(2)∵四边形BDCF为平行四边形,∴BF=CD。

而 ,∴ 。

∵BF∥CD, ∴△AEC∽△ABF。∴ 。∴点E是AB的中点。

【考点】切线的性质,垂径定理,勾股定理,平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由BF与⊙O相切,根据切线的性质,可得BF⊥AB,又由BF∥CD,易得CD⊥AB,由垂径定理即可求得CE=DE,然后连接CO,设OE=x,则BE=9-x,由勾股定理即可求得OE的长,从而求得CD的长。

(2)由四边形BDCF为平行四边形,根据平行四边形的性质,即可CD=BF,又由△AEC∽△ABF,即可求得点E是AB的中点。

7. (2012湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC),支点A与B相距8m,罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求:U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

【答案】解:如图,连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E,过点O作ON⊥DC于点N,ON交⊙O于点M,交AB于点F.则OF⊥AB.

∵OA=OB=5m,AB=8m,

∴AF=BF= AB=4(m),∠AOB=2∠AOF,

在Rt△AOF中, ,

∴∠AOF=53°,∴∠AOB=106°。

∵ (m),由题意得:MN=1m,∴FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中, ,∴DE=2m,DC=12m。

∴ (m2)。

答:U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用,垂径定理,勾股定理,等腰梯形的性质,锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E,过点O作ON⊥DC于点N,ON交⊙O于点M,交AB于点F,则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF,再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB,由勾股定理求出OF,根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长,再由 即可得出结果。

8. (2012湖北荆州12分)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

【答案】解:(1)∵抛物线经过点A(3,0),D(﹣1,0),∴设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。

将E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1),即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴点B(1,4)。

(2)证明:如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4).

在Rt△AOE中,OA=OE=3,

∴∠1=∠2=45°, 。

在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,

∴∠MEB=∠MBE=45°, 。

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。

∴AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中, ,∴∠BAE=∠CBE。

在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°,即CB⊥AB。

∴CB是△ABE外接圆的切线。

(3)存在。点P的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,﹣ )。

(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3,0),B(1,4)代入,得 ,解得 。

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x= ,∴F( ,3)。

情况一:如图2,当0

则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.

由△AHD∽△FHM,得 ,即 ,解得HK=2t。

= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。

情况二:如图3,当

由△IQA∽△IPF,得 .即 ,

解得IQ=2(3﹣t)。

= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。

综上所述: 。

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,圆的切线的判定,相似三角形的性质,平移的性质。

【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标,利用待定系数法可确定抛物线的解析式,从而能得到顶点B的坐标。

(2)过B作BM⊥y轴于M,由A、B、E三点坐标,可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形,易证得∠BEA=90°,即△ABE是直角三角形,而AB是△ABE外接圆的直径,因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得,能求出tan∠BAE的值,结合tan∠CBE的值,可得到∠CBE=∠BAE,由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°,从而得证。

(3)在Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE= ,sin∠BAE= ,cos∠BAE= 。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合。

由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,

即tan∠DEO= =tan∠BAE,

即∠DEO=∠BAE,满足△DEO∽△BAE的条件。

因此 O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0)。

②DE为短直角边时,P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。

而DE= ,则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10,OP2=DP2﹣OD=9。

即P2(9,0)。

③DE为长直角边时,点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,

则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。

则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ,OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0,﹣ )。

综上所述,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣ )。

(4)过E作EF∥x轴交AB于F,当E点运动在EF之间时,△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时,△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

9. (2012湖北黄冈8分)如图,在△ABC 中,BA=BC,以AB 为直径作半圆⊙O,交AC 于点D.连结DB,

过点D 作DE⊥BC,垂足为点E.

(1)求证:DE 为⊙O 的切线;

(2)求证:DB2=AB•BE.

【答案】证明:(1)连接OD、BD,则∠ADB=90°(圆周角定理),

∵BA=BC,∴CD=AD(三线合一)。

又∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线。

∴OD∥BC。

∵∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE。

∴DE为⊙O的切线。

(2)∵∠BED=∠BDC =900,∠EBD=∠DBC,

∴△BED∽△BDC,∴ 。

又∵AB=BC,∴ 。∴BD2=AB•BE。

【考点】切线的判定和性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形中位线的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD、BD,根据圆周角定理可得∠ADB=90°,从而得出点D是AC中点,判断出OD是△ABC的中位线,利用中位线的性质得出∠ODE=90°,这样可判断出结论。

(2)根据题意可判断△BED∽△BDC,从而可得BD2=BC•BE,将BC替换成AB即可得出结论。

10. (2012湖北十堰10分)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.

(1)求证:BD是⊙O的切线;

(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;

(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求 的值.

【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,

而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切

线。

(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。

(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而OD∥AC,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的

判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有 ,即 ,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则 ,即 ,然后求FG与FC的比即可。

11. (2012湖北孝感10分))如图,AB是⊙O的直径,AM、BN分别与⊙O相切于点A、B,CD交AM、

BN于点D、C,DO平分∠ADC.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.

【答案】解:(1)证明:过O点作OE⊥CD于点E,

∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD。

又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA。

∵OA为⊙O的半径,∴OE为⊙O的半径。

∴CD是⊙O的切线。

(2)过点D作DF⊥BC于点F,

∵AM,BN分别切⊙O于点A,B,

∴AB⊥AD,AB⊥BC。

∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF,AB=DF。

又∵AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5。

∵AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E,

∴DA=DE,CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。

在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴ 。

∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。

【考点】切线的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,矩形的判定和性质。

【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E,通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DF⊥BC于点F,根据切线的性质可得出DC的长度,继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长,从而可得出半径。

12. (2012湖北襄阳10分)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.

(1)求证:直线PA为⊙O的切线;

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;

(3)若BC=6,tan∠F= ,求cos∠ACB的值和线段PE的长.

【答案】解:(1)连接OB,

∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°。

∵OA=OB,BA⊥PO于D,

∴AD=BD,∠POA=∠POB。

又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。

(2)EF2=4OD•OP。证明如下:

∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°。

∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA,∴ ,即OA2=OD•OP。

又∵EF=2OA,∴EF2=4OD•OP。

(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD= BC=3(三角形中位线定理)。

设AD=x,

∵tan∠F= ,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

解得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去)。∴AD=4,OA=2x﹣3=5。

∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°。

又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB= 。

∵OA2=OD•OP,∴3(PE+5)=25。∴PE= 。

【考点】切线的判定和性质,垂径定理,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系,相似三角

形的判定和性质,三角形中位线定理,勾股定理,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。1028458【分析】(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,从而证明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。

(2)先证明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=2OA代入关系式即可。

(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,从而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=OD•OP,代入数据即可得出PE的长。

13. (2012湖北鄂州10分)如图,梯形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,O是腰CD的中点,以CD长

为直径作圆,交BC于E,过E作EH⊥AB于H。

(1)求证:OE∥AB;

(2)若EH= CD,求证:AB是⊙O的切线;

(3)若BE=4BH,求 的值。

【答案】解:(1)证明:在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∴∠B=∠C。

∵OE=OC,∴∠OEC=∠C,∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。

(2)证明:过点O作OF⊥AB于点F,过点O作OG∥BC交AB于点G。

∵AB=DC,∴∠B=∠C。

∴OC=OE,∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。

又∵EH⊥AB,∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。

又∵EH= CD,∴OF= CD,即OF是⊙O的半径。

∴AB是⊙O的切线。

(3)连接DE。

∵CD是直径,∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。

又∵∠B=∠C,∴△EHB∽△DEC。∴ 。

∵BE=4BH,设BH=k,则BE=4k,

∴CD=2EH=2 。∴ 。

【考点】等腰梯形(三角形)的性质,平行线的判定和性质,平行四边形的判定和性质,切线的判定,相似三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)判断出∠B=∠OEC,根据同位角相等得出OE∥AB。

(2)过点O作OF⊥AB于点F,过点O作OG∥BC交AB于点G,证明OF是⊙O的半径即可。

(3)求出△EHB∽△DEC,根据相似三角形的性质和勾股定理解答。

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