【答案】9。

【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。

【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，

∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。∴BE=2.5 。

同理可得CF=2.5。

又∵AD=4，∴EF=AD=4(矩形的性质)。

∴BC =BE+EF+FC=5+4=9。

4. (2012湖北十堰3分)如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理;.

【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。

∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。

∴△AOE∽△COF。∴ 。

∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。

在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=(4-CE)2+22，解得： CE= 。

∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC= ，∴CO= 。

∵在Rt△CEO中，CO= ，CE= ，由勾股定理得：EO= 。∴EF=2EO= 。

三、解答题

1. (2012湖北黄石7分)如图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF.

求证：∠DAE=∠BCF.

【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC。∴∠ADE=∠BCF。

又∵BE=DF， ∴BF=DE。

∴△ADE≌△CBF(SAS)。∴∠DAE=∠BCF 。

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，由SAS证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可。

2. (2012湖北宜昌11分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F.

(1)点E可以是AD的中点吗?为什么?

(2)求证：△ABG∽△BFE;

(3)设AD=a，AB=b，BC=c

①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系;

②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数.

【答案】解：(1)不可以。理由如下：

根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE

∴AE

(2)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，

∵由折叠知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG。∴∠EBF=∠BEF。

∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形。

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。

在等腰△ABG和△FEB中，

∠BAG=(180°﹣∠ABG)÷2，∠FBE=(180°﹣∠EFB)÷2，

∴∠BAG=∠FBE。∴△ABG∽△BFE。

(3)①∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC。

∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∴∠DAB=∠BDC=90°。

又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB。

∴ 。

∵AD=a，AB=b，BC=c，∴BD=

∴ ，即a2+b2=ac。

②由①和b=2得关于a的一元二次方程a2﹣ac+4=0，

由题意，a的值是唯一的，即方程有两相等的实数根，

∴△=0，即c2﹣16=0。

∵c>0，∴c=4。

∴由a2﹣4a+4=0，得a=2。

由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，

∴∠C=45°。

【考点】翻折变换(折叠问题)，直角梯形的性质，三角形三边关系，直线平行的性质，等腰(直角)三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE>EG，从而判断点E不可能是AD的中点。

(2)根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明。

(3)①根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。

②把b=2代入a、b、c的关系式，根据a是唯一的，可以判定△=c2﹣16=0，然后求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，得出∠C=45°。

3. (2012湖北恩施8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点.求证：四边形AEDF是菱形.

【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形。

又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC。∴AE=AF。

∴平行四边形AEDF是菱形。

【考点】三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定。

【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。

4. (2012湖北咸宁10分)如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 ，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8.

理解与作图：

(1)在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的

反射四边形EFGH.

计算与猜想：

(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?

启发与证明：

(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我

们的启发证明(2)中的猜想.

【答案】解：(1)作图如下：

(2)在图2中， ，

∴四边形EFGH的周长为 。

在图3中， ， ，

∴四边形EFGH的周长为 。

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

(3)延长GH交CB的延长线于点N，

∵ ， ，

∴ 。

又∵FC=FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM(ASA)。

∴EF=MF，EC=MC。

同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。

∵ ， ， ，∴ 。

∴GM=GN。

过点G作GK⊥BC于K，则 。

∴ 。

∴四边形EFGH的周长为 。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

【考点】新定义，网格问题，作图(应用与设计作图)，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

(2)图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。

(3)延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出 ，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。

5. (2012湖北黄冈7分)如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC

上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M.

求证：AM⊥DF.

【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。

又∵DE=CF，∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE。

在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ，

∴△AOE≌△DOF(SAS)。∴∠OAE=∠ODF。

∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。

【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，

然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。

6. (2012湖北随州10分)如图，已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.

(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切;

(2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的长.

【答案】解：(1)在CD上取中点F，连接OF，

∵O为AB的中点，∴由梯形中位线可知OF= (AD+BC)，OF∥AD∥BC。

又∵AD+BC=CD，∴OF= CD=CF。∴∠FOC=∠FCO。

又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB，∴∠OCF=∠OCB。

在CD上取点E，使DE=DA，则CE=CB。

在△OBC和△OEC中，∵CE=CB，∠OCB=∠OCE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC(SAS)。∴∠B=∠OEC，OE=OD。

∵∠B=900, ∴∠OEC=90°。∴OE⊥CD。

又∵O为AB的中点，∴OE=OD=OA为⊙O的半径。

∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。

(2)由(1)知，OF=CF=DF，∴O点在以CD为直径的⊙F上。

∴∠COD=90°。

在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，

∴根据勾股定理得： 。

【考点】直角梯形的性质，梯形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。

【分析】(1)在CD上取中点F，连接OF，由已知，根据梯形中位线定理和平行的性质，可由SAS得出△OBC≌△OEC，从而由∠B=900，证得OE⊥CD。由OE=OD=OA为⊙O的半径得出以AB为直径的⊙O与CD相切于E。

(2)由(1)可知O点在以CD为直径的⊙F上，根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD的长。

7. (2012湖北孝感8分)我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.

如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到

中点四边形EFGH.

(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ;(2)证明你的结论.

【答案】解：(1)平行四边形.

(2)证明：连接AC，

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF= AC。

同理HG∥AC，HG= AC。

∴EF∥HG，EF=HG。∴四边形EFGH是平行四边形。

【考点】新定义，三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】(1)根据四边形的形状及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形。

(2)连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，从而可判断出四边形EFGH的形状。

8. (2012湖北襄阳7分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F.

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形;

(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形?请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积.

【答案】解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD。

又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA。∴∠DEC=∠AEB。

又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB(SAS)。

∴AB=CD。

∴梯形ABCD是等腰梯形。

(2)当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形。理由如下：

∵E为BC的中点，BC=2AD，∴BE=EC=AD。

又∵AD∥BC，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形。∴AB=ED。

∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC。∴四边形AECD是菱形。

过A作AG⊥BE于点G，

∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形。

∴∠AEB=60°，∴AG= 。

∴S菱形AECD=EC•AG=2× =2 。

2012中考科目：

【中考语文】【中考数学】【中考英语】【中考物理】【中考化学】

【中考政治】【中考历史】【中考生物】【中考地理】 【中考体育】

2012中考考前： 

【中考动态】【中考心理辅导】 【中考家长】【中考饮食】 【中考政策】

2012中考考后：

【中考动态】 【中考成绩查询】【中考志愿填报】  【中考分数线】

【中考录取查询】 【中考状元】【中考择校】