∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°

∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4 。

(3)如图，当AC=BC时，则AD=4。

∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4= 。

综上所述，AB边上的高CD的长是4或 或 。

三、解答题

1. (2012湖北武汉6分)如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB.

【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。∴∠DCE=∠ACB。

∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，

∴△DCE≌△ACB(SAS)。∴DE=AB。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。

2. (2012湖北武汉10分)已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6.

(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长;

(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点

的三角形为格点三角形.

①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明);

②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需

证明).

【答案】解：(1)①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，

则△AMN∽△ABC，

∵M为AB中点，∴MN是△ABC 的中位线。

∵BC=6，∴MN=3。

②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N，

则△AMN∽△ACB，∴ 。

∵BC=6，AC= ，AM= ，∴ ，解得MN= 。

综上所述，线段MN的长为3或 。

(2)①如图所示：

②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。

【考点】网格问题，作图(相似变换)，三角形中位线定理，相似三角形的性质。

【分析】(1)作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长;作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长。

(2)①A1B1= 为直角三角形斜边的两直角边长为2，4，A1C1= 为直角三角形斜边的两直角边长为4，8。以此，先作B1C1=6，画出△A1B1C1。

②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。

3. (2012湖北黄石8分)如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太

阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，

公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，

并已知 ， 。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高(结果精

确到1cm)。

【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则 ，且 。

在Rt△ADF中： ，在Rt△EAF中, ，

∴ 。

又∵ ， ， ，

∴ 。

∴ 。

答：支架CD的高约为119cm 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。

4. (2012湖北黄石9分)如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线

B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.

(1)请你探究： ， 是否成立?

(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问 一定成立

吗?并证明你的判断.

(3)如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8, ，E为AB上一点且AE=5，CE交其内

角角平分线AD与F.试求 的值.

【答案】解：(1)∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴根据三线合一，得CD=DB。

∴ 。

过点D作DN⊥AB于点H。

∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴C1D=ND。

∵等边△ABC中，B1C1⊥AC，∴∠B1=300。

∴ 。

∴ ， 都成立。

(2)结论仍然成立。证明如下：

如图，ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交 AD的延长线于点G 。

∵∠G=∠CAD=∠BAD，∴BG=AB。

又ΔGBD∽ΔACD ，

∴ ，即 。

∴ 对任意三角形结论仍然成立。

﹙3﹚如图，连接ED。

∵AD为ΔABC的内角角平分线，AC=8, ，

∴由(2)得， 。

又∵AE=5，∴EB=AB-AE= 。∴ 。

∴ 。∴DE∥AC。 ∴ΔDEF∽ΔACF。

∴ 。

5. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分)如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?(参考数据： )

【答案】解：作BD⊥AC于点D.设BD=x海里，则

在Rt△ABD中， ，∴AD= 。

在Rt△CBD中， ，∴CD=x。

∴AC=AD﹣CD= 。

∵AC=30× =15，∴ =15，解得x≈21.4。

∵21.4海里>15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。

【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。

6. (2012湖北恩施8分)新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.

2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去.(见图1)

解决问题

如图2，已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB= 海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.

【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，∵AB= ，∠B=60°，

∴AD=AB•sin60°= 。

在Rt△ADC中，AD= ，∠C=45°，

∴AC= AD=140。

∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为 =7小时。

答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可。

7. (2012湖北黄冈8分)新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的

斑马线，斑马线的宽度为4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅

游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE=15° 和∠FAD=30° .司机

距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平行于斑马

线的同一直线上.)

(参考数据：tan15°=2- ，sin15°= cos15°= ≈1.732， ≈1.414)

【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。

∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。

设AB=x，则在Rt△AEB中， 。

∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD= -4。

在Rt△ADB中， ，

∴ ，即 ，解得x=2。

∴ 。

∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD= -0.8≈2×1.732+0.8≈2.7>2，故符合标准。

答：该旅游车停车符合规定的安全标准。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中， ，在Rt△ADB中， ，联立两式即可求出CD的值。

19.8. (2012湖北随州8分)如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.

求证：(1)ΔABD≌ΔACD;(2)BE=CE

【答案】证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD。

在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，

∴△ABC≌△ACD(SSS)。

(2)由(1)知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。

在△ABE和△ACE中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，

∴△ABE≌△ACE (SAS)。∴BE=CE(全等三角形的对应边相等)。

【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。

(2)由(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE;根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE;由全等三角形的对应边相等知BE=CE。

9. (2012湖北十堰6分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.

【答案】证明：连接AC，

在△ABC和△ADC中，

∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)。

∴∠B=∠D。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。

10. (2012湖北十堰8分)如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度.(参考数据： ≈1.73)

【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，

在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，

∴DE=50，CE=50 。

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。

则AF=AB-BF=AB-DE=x-50，DF=BE=BC+CE=x+50 。

在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°= ，∴ 。

∴ (米)。

答：山AB的高度约为236.5米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长

度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED中，

利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值。

11. (2012湖北襄阳5分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.

求证：AM=AN.

【答案】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。

∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。

∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。

∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。

又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB(ASA)。∴AM=AN。

【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。

12. (2012湖北鄂州8分)小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。

【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H。

在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE•tan∠E=8 tan60°=8 。

∵ EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。

在Rt△FDH中，FH= DF=4 ，HD==4 • =12。

又∵∠AF=90°，∠C=45°，∴HB= FH=4 。

∴BD=HD-HB=12-4 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】构造直角三角形FDH，分别解Rt△DEF和Rt△FDH即可。

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