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2012-12-11
【分析】(1)先根据四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),求出点A、C的坐标,再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可。
(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值,进而得出其抛物线的解析式。
(3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标,把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。
3. (2012福建宁德13分)如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.
(1)直接写出点A、B的坐标:A( , )、B( , );
(2)若抛物线y=- 1 3x2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是 ;
(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N.问是否存在点M,使△AMN
与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)当 7 2≤x≤7,在抛物线上存在点P,使△ABP的面积最大,求△ABP面积的最大值.
【答案】解:(1)(6,0),(0,-8)。
(2) 。
(3)存在。
设M ,
则N(m,0)MN= ,NA=6-m。
又DA=4,CD=8,
①若点M在点N上方, ,则△AMN∽△ACD。
∴ ,即 ,解得m=6或m=10。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
②若点M在点N下方, ,则△AMN∽△ACD。
∴ ,即 ,解得m=-2或m=6。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
③若点M在点N上方, ,则△AMN∽△ACD。
∴ ,即 ,方程无解。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
④若点M在点N下方, ,则△AMN∽△ACD。
∴ ,即 ,解得m= 或m=6。
当m= 时符合条件。
∴此时存在点M( , ),使△AMN与△ACD相似。
综上所述,存在点M( , ),使△AMN与△ACD相似。
(4)设P(p, ),
在 中,令y=0,得x=4或x=6。
∴ 7 2≤x≤7分为 7 2≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间讨论:
①如图,当 7 2≤x<4时,过点P作PH⊥x轴于点H
则OH=p,HA=6-p ,PH= 。
∴
∴当 7 2≤x<4时, 随p的增加而减小。
∴当x= 7 2时, 取得最大值,最大值为 。
②如图,当4≤x<6时,过点P作PH⊥BC于点H,过点A作AG⊥BC于点G。
则BH= p,HG=6-p,PH= ,
∴
∴当4≤x<6时, 随p的增加而减小。
∴当x=4时, 取得最大值,最大值为8。
③如图,当6≤x≤7时,过点P作PH⊥x轴于点H。
则OH=p,HA= p-6,PH= 。
∴
∴当6≤x≤7时, 随p的增加而增加。
∴当x=7时, 取得最大值,最大值为7。
综上所述,当x= 7 2时, 取得最大值,最大值为 。
【考点】二次函数综合题,矩形的性质,旋转的性质,勾股定理, 曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定,二次函数的性质。
【分析】(1)由OD=10,OB=8,矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合,可得OA2=AB2-OB2=102-82=36,∴OA=6。∴A(6,0),B(0,-8)。
(2)∵抛物线y=- 1 3x2+bx+c经过点A、B,
∴ ,解得 。
∴这条抛物线的解析式是 。
(3)分①若点M在点N上方, ,②若点M在点N下方, ,③若点M在点N上方, ,④若点M在点N下方, 四种情况讨论即可。
(4)根据二次函数的性质,分 7 2≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值,比较即可。
4. (2012福建三明12分)已知直线 与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线 的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图①,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;(4分)
②点N的坐标和线段MN的长;(4分)
(2)抛物线 在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)
【答案】解:(1)①∵直线 与x轴和y轴分别交于点A和点B,∴A( ,0),B(0,-5)。
当顶点M与点A重合时,∴M( ,0)。
∴抛物线的解析式是: ,即 。
②∵N是直线 与在抛物线 的交点,
∴ ,解得 或 。
∴N( ,-4)。
如图,过N作NC⊥x轴,垂足为C。
∵N( ,-4),∴C( ,0)
∴NC=4.MC=OM-OC= 。
∴ 。
(2)存在。点M的坐标为(2,-1)或(4,3)。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定。
【分析】(1)①由直线 与x轴和y轴分别交于点A和点B,求出点A、B的坐标,由顶点M与点A重合,根据二次函数的性质求出顶点解析式。
②联立 和 ,求出点N的坐标,过N作NC⊥x轴,由勾股定理求出线段MN的长。
(2)存在两种情况,△OMN与△AOB相似:
情况1,∠OMN=900,过M作MD⊥x轴,垂足为D。
设M(m, ),则OD= m,DM= 。
又OA= ,OB=5,
则由△OMD∽△BAO得, ,即 ,解得m=2。
∴M(2,-1)。
情况2,∠ONM=900,若△OMN与△AOB相似,则∠OMN=∠OBN。
∴OM=OB=5。
设M(m, ),则 解得m=4。
∴M(4,3)。
综上所述,当点M的坐标为(2,-1)或(4,3)时,△OMN与△AOB相似。
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