∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB>∠AOQ，∠QAB>∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴。

∵b>2，∴AB>OA. ∴∠QOA>∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°。

由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA。

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。

(Ⅰ)当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC，∴AQ=CO= 。

由 得： ，解得： 。

∵b>2，∴ 。∴点Q坐标为(1， ).

(Ⅱ)当∠OQC=90°时，△QOA∽△OCQ，∴ ，即 。

又 ，∴ ，即 ，解得：AQ=4

此时b=17>2符合题意。∴点Q坐标为(1，4)。

综上可知：存在点Q(1， )或(1，4)，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任

意两个三角形均相似。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)令y=0，即 ，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令

x=0，求出y的值即C的纵坐标。

(2)存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直

角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x，y)，连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。

(3)存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，

由条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。

9. (2012江苏宿迁12分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y= x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.

(1) 求M，N的坐标;

(2) 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个

单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束)。直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);

(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，S的值最大?并求出最大值.

【答案】解：(1)解 得 。∴M的坐标为(4，2)。

在y=-x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为(6，0)。

(2)S与自变量t之间的函数关系式为：

(3)当0≤t≤1时，S的最大值为 ，此时t=1。

当1

当4

∴S的最大值为 ，此时t= 。

当5

当6

综上所述，当t= 时，S的值最大，最大值为 。

【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。

【分析】(1)联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=-x+6中令y=0即可求得N的坐标。

(2)先求各关键位置，自变量t的情况：

起始位置时，t=0;当点A与点O重合时，如图1，t=1;当点C与点M重合时，如图2，t=4;当点D与点M重合时，如图3，t=5;当点B与点N重合时，如图4，t=6;结束位置时，点A与点N重合，t=7。

①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=0)，三角形的底为t，高为 ，∴ 。

②当1

③当4

∴ 。

④当5

6-t ，下底为7-t，高为1。∴ 。

⑤当6

(3)分别讨论各分段函数的最大值而得所求。

10. (2012江苏泰州10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分

别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 的图象经过B、C两点.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围.

【答案】解：(1)∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为(2，2)，(0，2)，

将点B、C的坐标分别代入 得

，解得 。

∴二次函数的解析式为 。

(2)令y=0，则 ，整理得，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3。

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1，0)(3，0)。

∴当y>0时，二次函数图象在x轴的上方，x的取值范围是-1

【考点】二次函数综合题，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象与x轴的交点问题。

【分析】(1)根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答。

(2)令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y>0，二次函数图象在x轴的上

方写出c的取值范围即可。

11. (2012江苏泰州12分) 如图，已知一次函数 的图象与x轴相交于点A，与反比例函数

的图象相交于B(-1，5)、C( ，d)两点.点P(m，n)是一次函数 的图象上的动点.

(1)求k、b的值;

(2)设 ，过点P作x轴的平行线与函数 的图象相交于点D.试问△PAD的面积是

否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)设 ，如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，求实数a的取值

范围.

【答案】解：(1)将点B 的坐标代入 ，得 ，解得 。

∴反比例函数解析式为 。

将点C( ，d)的坐标代入 ，得 。∴C( ，-2)。

∵一次函数 的图象经过B(-1，5)、C( ，-2)两点，

∴ ，解得 。

(2)存在。

令 ，即 ，解得 。∴A( ，0)。

由题意，点P(m，n)是一次函数 的图象上的动点，且

∴点P在线段AB 上运动(不含A、B)。设P( )。

∵DP∥x轴，且点D在 的图象上，

∴ ，即D( )。

∴△PAD的面积为 。

∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。

又∵n= ， ，得 ，而 。

∴当 时，即P( )时，△PAD的面积S最大，为 。

(3)由已知，P( )。

易知m≠n，即 ，即 。

若 ，则 。

由题设， ，解出不等式组的解为 。

若 ，则 。

由题设， ，解出不等式组的解为 。

综上所述，数a的取值范围为 ， 。

【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。

【分析】(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得 ，从而得到 ;由点C在 上求得 ，即得点C的坐标;由点B、C在 上，得方程组，解出即可求得k、b的值。

(2)求出△PAD的面积S关于n的二次函数(也可求出关于m)，应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。

(3)由m≠n得到 。分 和 两种情况求解。

12. (2012江苏无锡8分)如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V;

(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值?

【答案】解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，

∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6 ，

∴V=a3=(6 )3=432 (cm3);

(2)设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x， ，

∴S=4ah+a2= 。

∵0

【考点】二次函数的应用。

【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。

(2)利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。

13. (2012江苏徐州8分)二次函数 的图象经过点(4，3)，(3，0)。

(1)求b、c的值;

(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;

(3)在所给坐标系中画出二次函数 的图象。

【答案】解：(1)∵二次函数 的图象经过点(4，3)，(3，0)，

∴ ，解得 。

(2)∵该二次函数为 。

∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)，对称轴为x=1。

(3)列表如下：

x ••• 0 1 2 3 4 •••

y ••• 3 0 1 0 3 •••

描点作图如下：

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，描点作图。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(4，3)，(3，0)代入 得关于b、c的方程组，解之即得。

(2)求出二次函数的顶点式(或用公式法)即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

(3)描点作图。

14. (2012江苏徐州8分)为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交 元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元;4月份用电45千瓦时，交电费20元。

(1)求a的值;

(2)若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?

【答案】解：(1)根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，

，即 。

解得a=30或a=50。

由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。

∴a=50。

(2)设月用电量为x千瓦时，交电费y元。则

∵5月份交电费45元，∴5月份用电量超过50千瓦时。

∴45=20+0.5(x-50)，解得x=100。

答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。

【考点】一元二次方程和一次函数的应用。

【分析】(1)根据3月份用电80千瓦时，交电费35元列出方程求解，结合4月份用电45千瓦时，交电费20元，确定a的范围，从而得出结果。

(2)列出电费y元与用电量x千瓦时的函数关系式，根据5月份交电费45元，代入即可。

15. (2012江苏盐城12分)

知识迁移： 当 且 时，因为 ≥ ,所以 ≥ ,从而 ≥ (当

时取等号).记函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 .

直接应用：已知函数 与函数 , 则当 _________时, 取得最小值

为_________.

变形应用：已知函数 与函数 ,求 的最小值,并指出取得该

最小值时相应的 的值.

实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共 元;二是燃油费,每

千米为 元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 .设该汽车一次运输的路程为 千米,

求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

【答案】解：直接应用：1;2 。

变形应用：∵ ，

∴ 有最小值为 。

当 ，即 时取得该最小值。

实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则

，

∴当 (千米)时,

该汽车平均每千米的运输成本 最低，

最低成本为 元。

【考点】二次函数的应用，几何不等式。

【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：

∵函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 ，

∴函数 与函数 ，则当 时， 取得最小值为 。

变形运用：先得出 的表达式，然后将 看做一个整体，再运用所给结论即可。

实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所

给的结论即可得出答案。

16. (2012江苏盐城12分)在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象经过点 和点 ，直线 经过抛物线的顶点且与 轴垂直，垂足为 .

(1) 求该二次函数的表达式;

(2) 设抛物线上有一动点 从点 处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标 随时间

≥ )的变化规律为 .现以线段 为直径作 .

①当点 在起始位置点 处时，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由;在点 运动的过

程中，直线 与 是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由;

②若在点 开始运动的同时，直线 也向上平行移动，且垂足 的纵坐标 随时间 的变化规律为

，则当 在什么范围内变化时，直线 与 相交? 此时，若直线 被 所截得的弦长为 ,试求 的最大值.

【答案】解：(1)将点 和点 的坐标代入 ,得

，解得 。

∴二次函数的表达式为 。

(2)①当点 在点 处时，直线 与 相切。理由如下：

∵点 ，∴圆心的坐标为 ， 的半径为 。

又抛物线的顶点坐标为(0，-1)，即直线 上所有点的巫坐标均为-1，从而圆心 到直线 的距离为 。

∴直线 与 相切。

在点 运动的过程中，直线 与 始终保持相切的位置关系。理由如下：

设点 ，则圆心的坐标为 ，

∴圆心 到直线 的距离为 。

又∵ ，∴ 。

则 的半径为 。

∴直线 与 始终相切。

②由①知 的半径为 ，

又∵圆心 的纵坐标为 ，直线 上的点的纵坐标为 ，

∴(ⅰ)当 ≥ ,即 ≤ 时，圆心 到直线 的距离为

。

则由 ，得 ，解得 ,

∴此时 ≤ 。

(ⅱ)当 < ,即 > 时, 圆心 到直线 的距离为

。

则由 ,得 ，解得 。

∴此时 < 。

综上所述，当 时,直线 与 相交。

∵当 时，圆心 到直线 的距离为 ，又半径为 ，∴ 。

∴当 时, 取得最大值为 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，点到直线的距离，二次函数的性质。

【分析】(1)所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将点 和点 坐标代入即可得解。

(2)①由于 是 的直径，由 点的纵坐标可表示出 点的纵坐标，从而能表示出 到直线 的距离， 长易得。然后通过比较 的半径和 到直线 的距离，即可判定直线 与 的位置关系。

②该题要分两问来答，首先看第一问;该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线 与 的位置关系(需要考虑到 到直线 的表达方式)。

在第二问中， 最大，那么求出 关于 的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可求解。

17. (2012江苏扬州12分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵A(-1，0)、B(3，0)经过抛物线y=ax2+bx+c，

∴可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3=a(0+1)(0-3)，即a=-1。

∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)，即y=-x2+2x+3。

(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P。

则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得： 。

∴直线BC的函数关系式y=-x+3。

当x-1时，y=2，即P的坐标(1，2)。

(3)存在。点M的坐标为(1， )，(1，- )，(1，1)，(1，0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。

【分析】(1)可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(-1，0)、C(0，3)，∴MA2=m2+4，MC2=m2-6m+10，AC2=10。

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10，得：m=1。

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=± 。

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m=0，m=6，

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1， )，(1，- )，(1，1)，(1，0)。

18. (2012江苏扬州12分)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.

(1)①直接写出点E的坐标：　　.

②求证：AG=CH.

(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式.

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径.

【答案】解：(1)① (1， )。

②证明：∵四边形OABC是矩形，∴CE=AE，BC∥OA。∴∠HCE=∠GAE。

∵在△CHE和△AGE中，∠HCE=∠GAE， CE=AE，∠HEC=∠G EA，

∴△CHE≌△AGE(ASA)。∴AG=CH。

(2)连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，

则由矩形的性质，点E在AC上。

∵DD=OC=1= OA，∴D是OA的中点。

∵在△CME和△ADE中，

∠MCE=∠DAE， CE=AE，∠MEC=∠DEA，

∴△CME≌△ADE(ASA)。∴CM=AD=2-1=1。

∵BC∥OA，∠COD=90°，∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。

∴MD切⊙O于D。

∵HG切⊙O于F，E(1， )，∴可设CH=HF=x，FE=ED= =ME。

在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，即(1-x)2+( )2=( +x)2，解得x= 。

∴H( ，1)，OG=2- 。∴G( ，0)。

设直线GH的解析式是：y=kx+b，

把G、H的坐标代入得： ，解得： 。

∴直线GH的函数关系式为 。

(3)连接BG，

∵在△OCH和△BAG中，

CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，

∴△OCH≌△BAG(SAS)。∴∠CHO=∠AGB。

∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F。

∴OH平分∠CHF。∴∠CHO=∠FHO=∠BGA。

∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE。

∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，

∴△HOE≌△GBE(SAS)。∴∠OHE=∠BGE。21世纪教育网

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA。

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上。

过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA。∴ 。

设半径为r，则 ，解得 。

答：⊙P的半径是 .

【考点】一次函数综合题，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1))①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。

②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可。

(2)连接DE并延长DE交CB于M，求出DD=OC= OA，证△CME≌△ADE，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH=HF=x，推出(1-x)2+( )2=( +x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐标代入求出即可。

(3)连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出 ，设半径为r，代入求出即可。

19. (2012江苏镇江6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线 在第一象限交于点C(1，m)。

(1)求m和n的值;

(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲 线交于点P、Q，求

△APQ的面积。

【答案】解：(1)∵点C(1，m)在双曲线 上，∴ 。

将点C(1，4)代入 ，得 ，解得 。

(2)在 中，令 ，得 ，∴A(-1，0)。

将 分别代入 和 ，得P(3，8)。Q(3， )。

∴AD=3-(-1)=4，PQ= 。

∴△APQ的面积= 。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入 ，求出m的值，再将C(1，4)代入 即可求出n的值。

(2)求出点A、P、Q的坐标即可得到△APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得△APQ的面积。

20. (2012江苏镇江8分)甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：

(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值;

(2)乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地?并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象。

【答案】解：(1)由图知，甲车的速度为 (千米/小时)，乙车的速度为 (千米/小时)。

根据题意，得 ，解得a=180(千米)。

(2)设甲车返回的速度为x千米/小时，则 ，解得x=90。

经检验，x=90是方程的解并符合题意，

∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。

甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象如图：

【考点】一次函数和方程的应用。

【分析】(1)由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。

根据时间列出方程求解即可得a的值(也可用路程相等列出方程求解)。

应用函数求解如下：由题意知M(0.5，0)，

由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：

。

设N(t，a)，P(t+1，a))，代入函数关系式，得

，解得 。

(2)根据时间列出方程求解即可求解(也可用路程相等列出方程 求解)。

应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系，点E的横坐标为 。

若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为 (小时)。

∴甲车返回时的速度为180÷2=90(千米/小时)。

根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象。

21. (2012江苏镇江9分)对于二次函数 和一次函数 ，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(-1，n)，请完成下列任务：

【尝试】

(1)当t=2时，抛物线 的顶点坐标为 ▲ 。

(2)判断点A是否在抛物线E上;

(3)求n的值。

【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ▲ 。

【应用1】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是，求出t的值;如果不是，说明理由;

【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。

【答案】解：【尝试】(1)(1，-2)。

(2)点A在抛物线E上，理由如下：

将x=2代入 得y=0。

∴点A在抛物线E上。

(3)将(-1，n)代入 得

。

【发现】A(2，0)和B(-1，6)。

【应用1】不是。

∵将x=-1代入 ，得 ，

∴二次函数 的图象不经过点B。

∴二次函数 不是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”。

【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，

则 ，即 ，得 。

∴C1(0， )。

易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1(3， )。

易得△OAD2∽GAD1，则 ，

由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1。∴D2(0，-1)。

易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2(-3，5)。

∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。

当抛物线经过A、B、C1时，将C1(0， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D1时，将D1(3， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、C2时，将C2(-3，5)代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D2时，将D2(0，-1)代入 得 。

∴满足条件的所有t值为 ， ， ， 。

【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。

【分析】【尝试】(1)当t=2时，抛物线为 ，∴抛物线的顶点坐标为(1，-2)。

(2)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

(3)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(-1，n)代入函数关系式 即可求得n的值。

【发现】由(1)可得。

【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。

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