(1)求直线l的函数关系式;

(2)如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少?

【答案】解：(1)设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过(1，45)，(3，42)两点，得

，解得 。

∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。

(2)由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤ 。

∴警车最远的距离可以到： 千米。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据直线l的解析式是y=kx+b，将(3，42)，(1，54)代入求出即可。

(2)利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

7. (2012广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q.

(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(﹣1，﹣1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.

【答案】(1)证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，

∴ 。

(2)解：把(﹣1，﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2，0)。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。

∴当p=2时，d 2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

(2)把点(﹣1，﹣1)代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

8. (2012广东汕头9分)如图，直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A(4，2)，与x轴交于点B.

(1)求k的值及点B的坐标;

(2)在x轴上是否存在点C，使得AC=AB?若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数 的图象上，

∴把(4，2)代入反比例函数 ，得k=8。

把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。

∴B点坐标是(3，0)。

(2)存在。

假设存在，设C点坐标是(a，0)，则

∵AB=AC，∴ ，即(4﹣a)2+4=5。

解得a=5或a=3(此点与B重合，舍去)。

∴点C的坐标是(5，0)。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】(1)先把(4，2)代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。

(2)假设存在，设C点坐标是(a，0)，然后利用勾股定理可得 ，

解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求。

9. (2012广东深圳8分)“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：

(1)在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍.请问商场有哪几种进货方案?

(2)在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动.在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张?

【答案】解：(1)设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是(40-2x)台，

根据题意得： ， 解得：8≤x≤10。

∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案：

方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台;

方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台;

方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台; (2)三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700(40-2x)，

即y=2260x+10800。

∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。

∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400(元)。

∵现金每购1000元送50元家电消费券一张，

∴33400元，可以送33张家电消费券。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】(1)设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是(40-2x)台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。

(2)三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。

10. (2012广东深圳9分)如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6).

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗?

请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线经过A(-4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a(x+4)(x-1)。

又∵由抛物线经过C(-2，6)，∴6=a(-2+4)(-2-1)，解得： a=-1。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-(x+4)(x-1)，即y=-x2-3x+4。

(2)证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，解得： 。

∴直线BC的解析式为y=-2x+2.

∴点E的坐标为(0，2)。

∴ 。

∴AE=CE。

(3)相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： 。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，解得： 。

∴点F的坐标为( )。

则 。

又∵AB=5， ，

∴ 。∴ 。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。

(2)求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。

(3)求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出 ;由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。

11. (2012广东湛江10分)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔技种植面积为24万亩.调查分析结果显示.从2009年开始，该市荔技种植面积y(万亩)随着时间x(年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围);

(2)该市2012年荔技种植面积为多少万亩?

【答案】解：(1)设函数的解析式为：y=kx+b，

由图形可知函数图象经过点(2009，24)和(2011，26)，则

，解得： 。

∴y与x之间的关系式为y=x﹣1985。

(2)令x=2012，得y=2012﹣1985=27。

∴该市2012年荔技种植面积为27万亩。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)用待定系数法，将函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式即可求得函数的解析式。

(2)将2012代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可。

12. (2012广东肇庆8分) 已知反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、第三象限.

(1)求 的取值范围;

(2)若一次函数 的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4.

①求当 时反比例函数 的值;

②当 时，求此时一次函数 的取值范围.

【答案】解：(1)∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，

∴k-1>0，解得：k>1。 (2)①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，

∴ ，

联立之，得： ，解得k=3。

∴反比例解析式为 。

当x=-6时， 。

②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即 。

∵ ，∴ ，解得：3

∴一次函数y的取值范围是3

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组和不等式。

【分析】(1)由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k-1大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围。

(2)①由一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，将y=4代入一次函数及反比例函数解析式，联立求解即可得到k的值，确定出反比例函数解析式，然后将x=-6代入求出的反比例函数解析式中即可求出对应的函数值y的值。

②将求出的k值代入一次函数解析式中，确定出解析式，应y表示出x，根据x的范围列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的取值范围。

13. (2012广东肇庆10分)已知二次函数 图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1，0)、

B(x2，0)，x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点， .

(1)求证： ;

(2)求m、n的值;

(3)当p﹥0且二次函数图象与直线 仅有一个交点时，求二次函数的最大值.

【答案】(1)证明：∵二次函数 图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，即 ，化简得：n+4m=0。

(2)解：∵二次函数 与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1<0

∴OA=-x1，OB=x2; 。

令x=0，得y=p，∴C(0，p)，∴OC=|p|。

由三角函数定义得： 。

∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即 ，化简得： 。

将 代入得： ，化简得： 。

由(1)知n+4m=0，

∴当n=1时， ;当n=-1时， 。

∴m、n的值为： ，n=-1(此时抛物线开口向上)或 ，n=1(此时抛物线开口向下)。

(3)解：由(2)知，当p>0时，n=1， ，

∴抛物线解析式为： 。

联立抛物线 与直线y=x+3解析式得到： ，

化简得： *。

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程*根的判别式等于0，即△=02+16(p-3)=0，解得p=3。

∴抛物线解析式为： 。

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。

∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。

【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式 ，化简即得n+4m=0。

(2)利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。

(3)利用一元二次方程的判别式等于0求解.当p>0时，m、n的值随之确定;将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程;由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式;最后由抛物线的解析式确定其最大值。

14. (2012广东珠海7分)如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式;

(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围.

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