8.“五一”期间，梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩.甲地到乙地有两条公路，乙地到丙地有三条公路.每一条公路的长度如图所示(单位：km)，梁先生任选一条从甲地到丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率是______.

9.同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______.

10.银行为储户提供的储蓄卡的密码由0，1，2，…，9中的6个数字组成.某储户的储蓄卡被盗，盗贼如果随意按下6个数字，可以取出钱的概率是______.

11.小明和小颖做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜.如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走______支.

二、选择题

12.有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白色，第三条的一头是白色，另一头是黑色.若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相同的概率是( ).

A. B. C. D.

13.某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖.老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是( ).

A. B. C. D.

三、解答题

14.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同.其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是

求：(1)口袋里黄球的个数;

(2)任意摸出1个红球的概率.

拓广、探究、思考

15.小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关，第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是______.

16.请你设计一种均匀的正方体骰子，使得它掷出后满足下列所有条件：

(1)奇数点朝上的概率为

(2)大于6的点数与小于3的点数朝上的概率相同.

测试5 利用频率估计概率(一)

学习要求

会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程.

课堂学习检测

一、填空题

1.当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的______附近，所以我们可以通过多次实验，用同一个事件发生的______来估计这事件发生的概率.(填“频率”或“概率”)

2.50张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频率依次是16%、24%、8%、52%，估计四种花色分别有______张.

3.在一个8万人的小镇，随机调查了1000人，其中有250人有订报纸的习惯，则该镇有订报纸习惯的人大约为______万人.

4.为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，全部做上记号后放飞.过了一段时间后，重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只.据此可估算出该地区大约有天鹅______只.

二、选择题

5.如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用( ).

A.汽水瓶盖 B.骰子 C.锥体 D.两个红球

6.在“抛硬币”的游戏中，如果抛了10000次，则出现正面的概率是50%，这是( ).

A.确定的 B.可能的 C.不可能的 D.不太可能的

三、解答题

7.对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：

(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中;

抽取球数n 50 100 500 1000 5000

优等品数m 45 92 455 890 4500

优等品频率

(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?

8.某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25%，摸到黄球的频率为40%，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目.

综合、运用、诊断

一、填空题

9.一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀.重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有______个白球.

10.某班级有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为______;现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是______.

二、解答题

11.在5瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从5瓶饮料中任取2瓶，则取到的2瓶都过了保质期的可能性是多少?请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案.

12.某笔芯厂生产圆珠笔芯，每箱可装2000支.一位质检员误把一些已做标记的不合格产品也放入箱子里，若随机拿出100支，共做10次实验，这100支中不合格笔芯的平均数是5，你能估计箱子里有多少支不合格品吗?若每支合格品的利润为0.5元，如果顾客发现不合格品，需双倍赔偿(即每支赔1元)，如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场，根据你的估算这箱笔芯是赚是赔?赚多少或赔多少?

13.为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机捕捞，每次捕捞后做好记录，然后将鱼放回，如此进行20次，记录数据如下：

总条数 50 45 60 48 10 30 42 38 15 10

标记数 2 1 3 2 0 1 1 2 0 1

总条数 53 36 27 34 43 26 18 22 25 47

标记数 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

(1)估计池塘中鱼的总数.根据这种方法估算是否准确?

(2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准.

14.小明在乒乓球馆训练完后，不慎将若干白球放入了装有30个橙色球的袋子中，已知两种球除颜色外都相同，你能帮他设计一个方案来估计放进多少白球吗?

拓广、探究、思考

15.北京联通公司市场部经理小张想了解市内移动公司等对手的市场占有率及用户数量，你能帮他设计一种方案估计出其他公司用户的数量吗?

16.一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子;而且不许将棋子倒出来数，请你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目.

测试6 利用频率估计概率(二)

学习要求

当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法.

课堂掌习检测

一、填空题

1.用频率来估计概率的值，得到的只是______，但随实验的次数增多，频率值与实际概率值的差会越来越趋近于______，此时对这个事件发生概率值估计的准确性也就越大.

2.某单位共有30名员工，现有6张音乐会门票，领导决定分给6名员工，为了公平起见，他将员工们按1～30进行编号，用计算器随机产生______～______之间的整数，随机产生的______个整数对应的编号去听音乐会.

3.为了解某城市的空气质量，小明由于时间的限制，只随机记录了一年中73天空气质量情况，其中空气质量为优的有60天，请你估计该城市一年中空气质量为优的有______天.

4.利用计算器产生1～5的随机数(整数)，连续两次随机数相同的概率是______.

二、选择题

5.某口袋放有编号1～6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是( )

A. B. C. D.

6.某科研小组，为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼( )

A.8000条 B.4000条 C.2000条 D.1000条

三、解答题

7.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000

摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601

摸到白球的频率

0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601

(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______;

(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______;

(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?

(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

8.某学校有50位女教师，但不知其校男教师的人数，一位同学为了弄清该校男教师的人数，他对每天进校时的第一位老师的性别进行了记录，他一共记录了200次，记录到女教师有80次.你能根据这位同学的记录估计出该校男教师的人数吗?请说明理由.

综合、运用、诊断

一、填空题

9.均匀的正四面体各面分别标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面数字相同的概率是______.如果没有正四面体，设计一个模拟实验用来替代此实验：______________________________.

10.有4根完全相同的绳子放在盒子中，然后分别将它们的两端相接连成一条绳子，问一根绳子的两端刚好都接有绳子的概率是______.

二、解答题

11.某数学兴趣小组为了估计π的值设计了投针实验.平行线间的距离α=0.5m，针长为0.1m，向地面随机投了150次，经统计有19次针与平行线相交.试求出针与平行线相交的概率的近似值，并估计出π的值.

12.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：

掷子次数 50次 150次 300次

石子落在⊙O内

(含⊙O上)的次数m 14 43 93

石子落在图形内的次数n 19 85 186

你能否求出封闭图形ABC的面积?试试看.

13.地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm).现在向其上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少?

拓广、探究、思考

14.设计一个方案，估计10个人中有2个人生日相同的概率是多少?写出你的方案设计.

15.一次战争期间，参战的一方的一名间谍深入敌国内部，他侦察到的情报如下：

(1)该国参战部队有220个班建制;

(2)他在敌国参战部队的不同地点侦察了22个班;22个班中有20个班严重缺员，另外2个班只是基本满员;

(3)敌国的士气不振.

因此，他向本国发回消息：“敌国已基本失去战斗力”.

你认为这名间谍的消息正确吗?

答案与提示

第二十五章 概率初步

测试1

1.(3)、(9)、(10)、(11);(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(12);(5);

(12).

2.D. 3.D. 4.C. 5.C.

6.可能发生.虽然这个事件发生的几率很小，但它仍然是可能发生的事件，是不确定事件.

7.纸片埋在2号区域的可能性最大.因为2号区域的面积是整个区域面积的 而1号、3号区域的面积都是整个区域面积的 当随意投入纸片时，落在2号区域的可能性要大.

8.这个游戏是公平的.因为黑白两色的直角三角形都全等，且个数也分别相等，所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等，又因为黑白两色弓形的弦长都是直角三角形的斜边，所以黑白两色弓形面积的和也分别相等，因此黑白两色区域面积各占圆面积的50%，即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为50%.

9.两个人的说法都不同意.两个转盘的面积大小不同，但是蓝色部分所占总面积的比例相同，都是 因此预计成功的机会都是25%.

10.(1)左图中，可能处于A区域或B区域，可能性最大的是处于B区域.

右图中，可能处于1，2，3，4，5，6区域，处于各区域的可能性相同.

(2)左图中，投掷结果可能为1，2，3，4，5，6，可能性一样.

右图中，投掷结果可能为1或2，可能性一样.

(3)投掷结果可能为正面或反面，可能性一样.

测试2

1.频率，概率. 2.0.15.

3.(1)4，80%;(2)5006，50.1%，4994，49.9%;(3)0.5.

4.D. 5.A. 6.(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7;(2)0.75.

7.①、③、④. 8. 9.D. 10.D. 11.A.

12.最后一位数可以是0～9这10个数字中的一个，故正好按对密码的概率是

13.出生男孩概率的近似值为0.52，出生女孩概率的近似值为0.48.

出生频率

出生年份 男孩P1 女孩P2

1996 0.516 0.484

1997 0.518 0.482

1998 0.515 0.485

1999 0.518 0.482

2000 0.516 0.484

5年共计 0.517 0.483

14.不同意.10次的实验次数太少，所得频率不能充分代表概率，所以应多做实验，如100次实验后，用摸到1的次数除以100，才能近似代表概率值.

15.不对.三种情况中，出现“一正一反”的有两种可能，其概率应为

16.(1) (2) (3)0; (4)1; (5)小.

测试3

1.红. 2.(1) (2) 3. 糖果.

4.(1) (2) (3) (4) (5) 5.D. 6.C. 7.B.

8.P(摸到2的倍数的卡片) P(摸到3的倍数的卡片)

P(摸到5的倍数的卡片)

9.中间两位可能是00～99中的一种情况，故一次就可打开手机的概率是

10. 11. 12. 13.C. 14.D. 15.B. 16.A.

17.(1)值班顺序共有6种排列方法;(2)甲在乙前的有3种;(3)概率为

18.可能结果有6种，而猜正确的只能是一种，故概率是

19.两张牌面数字之和共有16种等可能的结果，其中等于5的有4种，故其概率为 和等于2和8的概率最小.

20.(1)设计12个红球，8个白球，4个黄球;(2)设计红球和黄球各9个，白球6个.

测试4

1.D. 2.D.

3.(1)画树形图来找出所有可能情况.

甲摸得球的颜色：

乙摸得球的颜色或用列表法思考所有情况.列表如下：

乙

甲 白 红 黑

白 白，白 红，白 黑，白

红 白，红 红，红 黑，红

黑 白，黑 红，黑 黑，黑

(2)由树形图可得，该试验的所有可能情况有9种，其中乙摸到与甲相同颜色球有三种情况，每种情况出现的机会均等，乙取胜的概率为

4.(1)每个小球被摸到的机会均等，故P(摸到蓝色小球)

(2)列表思考所有可能情况：

小李

小王 红 黄 蓝

红 红，红 红，黄 红，蓝

黄 黄，红 黄，黄 黄，蓝

蓝 蓝，红 蓝，黄 蓝，蓝

由上表可知小王和小李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中小王赢的情况有3种，小李赢的情况有6种.

∴P(小王赢) P(小李赢)

∴此游戏规则对双方是不公平的.

5.列表考虑所有可能情况：

转盘A

两个数字之积

转盘B -1 0 2 1

1 -1 0 2 1

-2 2 0 -4 -2

-1 1 0 -2 -1

由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，

∴P(小力获胜) P(小明获胜)

∴这个游戏对双方不公平.

6.剪刀一A，石头一B，布一C，画出树形图如下：

由树形图可知，三人随机出拳的所有可能情况有27种，每种情况出现的可能性相同，其中，

(1)不分胜负的有：AAA，BBB，CCC，ABC，共4个，

P(三人不分胜负)

(2)一人胜二人负的有：ACC，AAB，ABA，BAA，BBC，CBB，CAC，CCA，BCB，共9个，

P(一人胜二人负)

7.画出树形图：

由树形图可知，三辆车在十字路口随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性大小相同，其中，

(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，P(三辆车全部继续直行)

(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，

P(两辆车向右转，一辆车向左转)

(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，P(至少有两辆车向左转)

8. 9. 10. 11.2. 12.B. 13.C.

14.(1)黄球有 (个);(2)任意摸出一个红球的概率是

15.

16.(1)要求只有两个奇数即可;(2)要求必须有1，2，4，5，另外两个数只要大于6即可.因此可以选1，2，4，5，7，8.

测试5

1.概率，频率. 2.8，12，4，26. 3.2.

4.200. 5.A. 6.B.

7.(1)频率依次为0.90，0.92，0.91，0.89，0.90;(2)概率是0.9.

8.可估计三色球总数为 个，则黄球约为40个，红球约为100-40-25=35个.

9.9. 10.

11.可能性是 可取3个白球和两个红球，用红球代表过了保质期的饮料，从这5个球中任取两个，这两个均为红球的概率即为所求.

12.(1) (支)，估计箱子里有100支不合格产品;

(2)0.5×(2000-100)-1×100=850(元)，这箱笔芯能赚钱，赚了850元.

13.(1)先求有标记数与总条数的比 得池塘鱼数 条，估计可能不太准确，因为实验次数太少.

(2)可以先捞出一定数目的鱼(比如30条)，做上标记再放回，一天后，在池塘里随机捞取，每次捞50条，求带有标记和不带有标记鱼的数目比.重复实验100次，求出平均值，然后用30除以平均比值，即可估计池塘里的鱼数.

14.从袋中随机摸取一球，记下颜色放回摇匀，摸20次为一次实验，若摸出n个橙球，则摸到橙球的频率为 重复多次实验，用实验频率估计理论概率;用 求出袋中球的总数，再用总数减去30个橙球数，就得出放进去的白球数.

15.首先统计出联通用户数量m，然后随机调查1000名手机用户，如果其中有n名中国联通用户，则可估计对手的市场占有率为 对手用户数量为 名.

16.方案一：从口袋中摸出10粒棋子做上标记，然后放回口袋.拌匀后从中摸出20粒棋子，求出标记的棋子与20的比值，不断重复上述过程30次，有标记的棋子与20的比值的平均数为 则估计袋中棋子有10m粒.

方案二：另拿10粒黑色棋子放到袋中，拌匀后，重复方案一中的过程.黑棋子与20的比值平均数为 估计袋中原有白棋子(10n-10)粒.

测试6

1.近似值，0. 2.1，30，6. 3.300. 4. 5.C. 6.B.

7.(1)0.6;(2)0.6，0.4;(3)白球12，黑球8;

(4)尝试自己设计出一种方案与同学交流.

8.能.设男教师人数为x，则 解得x=75，估计该校约有75位男教师.

9. 略. 10.

11.估计 又

12.随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O内(含⊙O上)的频率趋近0.5，有理由相信⊙O面积会占封闭图形ABC面积的一半，所以求出封闭图形ABC的面积为2π.

13.如图，当所抛圆碟的圆心在图中边框内(宽为5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，因此所求概率等于一块正方形地砖内的边框部分和该正方形的面积比，结果为

14.用计算器设定1～365(一年按365天计)共365个随机数，每组取10个随机数，有两个数相同的记为1，否则记为0，做10组实验，求出现两个数相同的频率，用此数据来估计概率.

15.由于间谍侦查到的班是随机的，设敌国有x个班严重缺员，那么 解得x=200，可见敌国有200个班严重缺员，仅有的20个班基本满员，又加上士气不振，可以说“敌国已基本上无战斗力了”.

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