(2)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可由△OBC旋转得到的三角形有a个，可由△OBC平移得到的三角形有b个，可由△OBC轴对称得到的三角形有c个，试求(a+b+c)a+b-c的值.

20.已知：直线l的解析式为y=2x+3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式.

21.如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗?为什么?

科学家名言

对称性原理在探索自然奥秘中所起的作用，无论怎么强调也不会过分的。因为物理学家发现，一个对称规律打破后，会出现更高一级的对称。

——杨振宁

测试3 旋转的综合训练

一、填空题

1.如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为______°.

1题图

2.如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形A′B′C′D′，则它们的公共部分的面积等于______.

2题图

3.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得到P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°，得点P3，则P3的坐标是______.

4.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为______.

4题图

5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧.若 则BE=______.

5题图

6.如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，则∠BPD______°.

6题图

二、选择题

7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ).

A.等边三角形 B.菱形

C.等腰梯形 D.平行四边形

8.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?甲同学说：45°;乙同学说：60°;丙同学说：90°;丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是( ).

8题图

A.甲 B.乙

C.丙 D.丁

9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( ).

A.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的

B.△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的

C.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的

D.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的

10.以下图的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是( ).

三、解答题

11.已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD.

求证：BD2=AB2+BC2.

12.已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE.

求证：BE=AF+CE.

13.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD=EF.

求证：

14.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF.

(1)如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2;

(2)如果CA

答案与提示

第二十三章 旋 转

测试1

1.一点O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角.

2.对应点.

3.O，90°， 点， ，∠ ，∠AO =90°.

4.O点，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE.

5.120.

6.180.

7.270.

8.距离，旋转角，全等.

9.B. 10.D. 11.D. 12.C. 13.A.

14.答案不唯一，如可看成正△ACE绕其中心旋转60°得到的.

15.可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的.

16.略.

17.略.

18.物体A向右平移，移动的距离是20cm.

19.△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE=AF，AF⊥CE.

20.分两类：(1)A与C是对应点.(2)B与C是对应点，对(1)的作法：

(1)连结AC，作线段AC的垂直平分线l1;

(2)连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求.

同理可作出(2)的O′选点.

21.提示：如图1，以C为旋转中心，将△APC绕C点逆时针旋转60°得到△BDC，易证△PCD为等边三角形，△PBD是以BP，AP(=BD)，CP(=PD)为三边的三角形.∠PBD=53°，∠BPD=64°，∠PDB=63°.

图1

测试2

1.180°，重合，对称中心，对称点.

2.(1)线段，对称中心，平分;(2)全等图形.

3.180°，重合，对称中心.

4.中心对称，它的中点.

5.中心对称，它的两条对角线的交点.

6.中心对称，它的圆心.

7.AB=CD且AB∥CD或AB与CD共线.

8.C点，点F，D点，EG，EG，C点，平分，△FGE.

9.OF=OE，全等.

10.D. 11.B. 12.C. 13.C.

14.略.

15.作法：分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心.其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心.

16.略.

17.

18.(1)A1(1，-1)、B1(3，-2)、C1(4，1).

(2)A2(3，-5)、B2(5，-6)、C2(6，-3).

19.(1)平移变换、轴对称变换、旋转变换.一个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和大小都不会改变.即所得的图形与原图形全等.

(2)a=5，b=2，c=5，(a+b+c)a+b-c=122=144.

20.l1∶y=2x-3， l2∶y=-2x-3， l3∶y=-2x+1.

21.第2张，是中心对称图形.

测试3

1.22. 2. 3.

4. 5.1 6.60.

7.B. 8.B. 9.A. 10.A.

11.提示：如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连结AC，AE.可证△BCD≌△ECA，AE=BD，∠ABE=90°，在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，即AB2+BC2=BD2.

11题图

12.提示：如图，延长EC到M，使CM=AF，连结BM.易证△AFB≌△CMB，∠4=∠M.又AD∥BC，

∴4=∠2+∠5=∠1+∠5=∠3+∠5.

∴∠M=∠EBM.

∴BE=EM=AF+CE.

12题图

13.提示：延长FD到H，使DH=BE，易证△ABE≌△ADH.再证△AEF≌△AHF.

14.提示：如图，

(1)连结CD，证△CDE≌△BDF.CE=BF.

∵CA=CB， ∴ AE=CF.

在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2.

(2)延长FD到M，使DM=DF，连结AM、EM，先证△BFD≌△AMD.∴AM=BF，∠DAM=∠B，再证EM=EF.

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