【分析】由表格可知，(0， )，(2， )是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，由利用对称性知横坐标为3的点关于x=1的对称点是(-1，-4)。根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4。

9. (江苏省2009年3分)如图，已知 是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为 ，则梯形ABCD的面积为 ▲ cm2.

【答案】16。

【考点】梯形中位线定理

【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：

设梯形的高为h，

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为 。

∵△DEF的面积为 ，∴ 。

∴梯形ABCD的面积为 。

10. (江苏省苏州市2010年3分)如图，已知A、B两点的坐标分别为 、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ▲ .

【答案】( ， )。

【考点】直角坐标系和坐标，圆周角定理，勾股定理。

【分析】由∠AOP=45°，可设 。

∵AB所对的圆周角是直角(∠AOB)，∴AB是圆的直径。

连接AP，BP，则∠APB=90°。

∵A、B两点的坐标分别为 、(0，2)，

∴ ， ， 。

由勾股定理，得 ，即 ，解得 。

∴点P的坐标为( ， )。

11. (江苏省苏州市2011年3分)如图，已知点A的坐标为( ，3)，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数 (k>0)的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的 倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 ▲ (填“相离”、“相切”或“相交”).

【答案】相交。

【考点】一次函数, 反比例函数，实数的大小比较，圆与直线的位置关系。

【分析】要看该圆与x轴的位置关系如何，只要求出圆半径和点C到x轴的距离即可。这都要求求出点C的坐标。

∵点D横坐标与点A相同，为 ，纵坐标由AB=3BD=3可得为1;而点D在反比例函数 的图像上，由 得 。

∴反比例函数关系式为 。

又∵易知直线OA为 ，∴点C的坐标为(1， )，CA=16-8 。

∴点C到x轴的距离为 ;以点C为圆心，CA的 倍的长为半径的圆半径为20-10 。

又∵ -(20-10 )=11 -20= - <0，

∴ 小于20-10 。则该圆与x轴的位置关系是相交。

12. (2012江苏苏州3分)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s

的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位： )

与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒

(结果保留根号).

【答案】4+ 。

【考点】动点问题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，

∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒。

∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2，BC=2。

过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

则四边形BCFE是矩形。∴BE=CF，BC=EF=2。

∵∠A=60°，

∴ ， 。

∵由图②可△ABD的面积为 ，

∴ ，即 ， 解得AD=6。

∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3。

在Rt△CDF中， ，

∴动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+ =4+ (cm)。

∵动点P的运动速度是1cm/s，

∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4+ )÷1=4+ s。

三、解答题

1. (2001江苏苏州6分)如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在 上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CE⊥AB，垂足为E.连接BD，交CE于点F。

(1)当点C为 的中点时(如图1)，求证：CF=EF;

(2)当点C不是 的中点时(如图2)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。

∵点C是 的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。

又∵DC是切线，∴DC⊥EC。

又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。

∴CD∥AO，CD=AD。∴ ，即EF= AD= EC。

∴F为EC的中点，CF=EF。

(2)CF=EF保持不变。证明如下：

如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，

∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。

∴∠DAC=∠DCA。

∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。

∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。

∴∠DGC=∠DCG。

∴在△GDC中，GD=DC。

∵DC=DA，∴GD=DA。

∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。

又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。

∴ 。

∵GD=AD，∴CF=EF。

【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出 ，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。

(2)连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以 ，即可知CF=EF。

2. (2001江苏苏州7分)已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。

(1)用x表示△AMN的面积;

(2)△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。

①用的代数式表示y，并写出x的取值范围;

②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少?

【答案】解：(1)∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。∴ 。

∴ ，即 。

(2)①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，

(0

当点A′在四边形BCMN外，

连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，

∵MN∥BC，∴ ，即 。

∴AG= x。∴AA′=2AG=x。∴A′F=x-5。

∴ ，即 。

∴ 。

∴重合部分的面积 。

综上所述，重合部分的面积 。

②∵

∴当x= 时，y最大，最大值为y最大= 。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出△AMN的面积。

(2)根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可.再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。

3. (江苏省苏州市2002年7分)已知：⊙ 与⊙ 外切于点 ，过点 的直线分别交⊙ 、⊙ 于点 、 ，⊙ 的切线 交⊙ 于点 、 ， 为⊙ 的弦，

(1)如图(1)，设弦 交 于点 ，求证： ;

(2)如图(2)，当弦 绕点 旋转，弦 的延长线交直线B 于点 时，试问： 是否仍然成立?证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。

∴ 。

又∵ 是⊙ 的切线，∴ 。

又∵ ，∴ 。

又∵ ，∴ 。

∴ ，即 。

(2)仍成立。证明如下：

连结 ，过点 作⊙ 和⊙ 的公切线 。

∵ 是⊙ 的切线，∴ 。∴ 。

∴ 。

又∵ ，∴ 。

又∵ ，∴ 。

∴ ，即 。

【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。根据弦切角定理可得 ，由 也是⊙ 的切线，根据切线长定理可得 ，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到 ，由对顶角相等的性质，得到 。又 ，从而 ，根据相似三角形的性质即可证明。

(2)同(1)可以证明。

4.(江苏省苏州市2002年7分)如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)、(14，3)、(4，3)。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位;点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

(1)设从出发起运动了 秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含 的代数式表示，不要求写出 的取值范围);

(2)设从出发起运动了 秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。

①试用含 的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度;

②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的 的值和P、Q的坐标;如不可能，请说明理由。

【答案】解：(1)当点Q在OC上时，如图，过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OA于点F。

依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2 。

由△OCE∽△OQF得 ，

即 。

∴ 。∴当点Q在OC上时，点Q的坐标为 。

当点Q在CB上时，如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N。

∵CQ=2 -5，∴OM=4+2 -5=2 -1。

又MQ=3，∴当点Q在CB上时，点Q的坐标为( )。

(2)①∵点P所经过的路程为 ，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，

∴ +OQ= (14+3+10+5)，即OQ=16- 。

∴点Q所经过的路程为16- ， 速度为 。

②不能。理由如下：

当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。

则OP= ，QF= 。

∴ 。

又∵ ，∴令 ，解之，得 。

∵当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去;

当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去。

∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。

当Q在CB上时，CQ=16- -5=11- ，

∴ 。

∵ ，

∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。

综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。

【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)当点Q在OC上时，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点Q的坐标。当点Q在CB上时，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N，即可得出OM=4+2 -5=2 -1，从而求出此时点Q的坐标。

(2)①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式， +OQ= (14+3+10+5)，即可求出点Q所经过的路程。用路程÷时间即可求得速度。

②分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。

5. (江苏省苏州市2003年7分)如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。

(1)求∠COA和∠FDM的度数;

(2)求证：△FDM∽△COM;

(3)如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，分别交直

线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM?证明你的结论。

【答案】解：(1)∵AB为直径，CE⊥AB，∴ ，CG=EG。

在Rt△COG中，∵OG= OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。

又∵∠CDE的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数=60°，

∴∠FDM=180°-∠CDE=120°。

(2)证明：∵∠COM=180°-∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。

在Rt△CGM和Rt△EGM中， ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)。

∴∠GMC=∠GME。

又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。 (3)结论仍成立。证明如下：

∵∠EDC的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数，

∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM。

∵AB为直径，∴CE⊥AB。

在Rt△CGM和Rt△EGM中， ∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)。

∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。

【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。

【分析】(1)由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出， ，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°。

(2)在(1)中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。

(3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出 ，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。

6. (江苏省苏州市2003年7分)OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。

(1)如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式。

(2)如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为 。

①求折痕AD所在直线的解析式;

②再作 F∥AB，交AD于点F，若抛物线 过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。

(3)如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点 ，使纸片沿 翻折后，点O落在BC边上，记为 。请你猜想：折痕 所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想。

【答案】解：(1)由折叠法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6。∴G(6，0)，C(0，6)。

设直线CG的解析式为y=kx+b，则 ，解得 。

∴直线CG的解析式为：y=-x+6。

(2)①在Rt△ABE'中， 。∴CE′=2。

设OD=x，则DE'=x，CD=6-x，

在Rt△DCE'中， ，解得 。则D(0， )。

设AD所在直线的解析式为y=k'x+ ，由于它过A(10，0)，∴k'= 。

∴AD所在直线的解析式为 。

②∵E'F∥AB，E'(2，6)，∴设F(2，yF)。

∵F在AD上，∴ 。∴F(2， )。

又∵点F在抛物线 上，∴ ，解得h=3。

∴抛物线的解析式为 。

联立 和 得 ，即 。

∵△=0，∴直线AD与抛物线只有一个交点(2， )。 (3)例如可以猜想：(ⅰ)折痕所在直线与抛物线 只有一个交点;

或(ⅱ)若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线 上。

验证：(ⅰ)在图1中，折痕为CG，将y=-x+6代入 ，

得 ，即 。

∵△=0，∴折痕CG所在直线与抛物线 只有一个交点。

或(ⅱ)在图1中，D'即C，E''即E，G'即G，交点F'也为G(6，0)，

∴当x=6时， 。∴G点在这条抛物线上。

【考点】二次函数综合题，折叠的性质，正方形的判定和性质，待定系数法，曲线点的坐标与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)根据折叠的性质可知：四边形OGEC是个正方形，因此OC=OG=6，据此可得出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式。

(2)①求出D的坐标，根据折叠的性质可知AE′=OA，那么可在Rt△ABE′中求出BE′的长，从而可求出CE′的值。在Rt△CDE′中，CD=6-OD，DE′=OD，根据勾股定理即可求出OD的长，也就得出了D点的坐标，然后可用待定系数法求出直线AD的解析式。

②①中已经求得CE′的长，即F点的横坐标，可根据直线AD的解析式求出F点的坐标，然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.从而可根据抛物线的解析式来判断其与x轴交点的个数。

(3)可以猜想：(ⅰ)折痕所在直线与抛物线 只有一个交点：(ⅱ)若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线 上。验证(ⅰ)时，将y=-x+6代入 ，证明△=0即可。验证(ⅱ)时，说明G(6，0)满足 即可。

7. (江苏省苏州市2004年7分)某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张;印刷费与印数的关系见下表。

印数a (单位：千册) 1≤a<5 5≤a<10

彩色 (单位：元/张) 2.2 2.0

黑白(单位：元/张) 0.7 0.6

(1)印制这批纪念册的制版费为 元;

(2)若印制2千册，则共需多少费用?

(3)如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60 000元，求印数的取值范围。(精确到0。01千册)

8.(江苏省苏州市2004年8分)如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3，0)，(3，4)。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。

(1)P点的坐标为( ， );(用含x的代数式表示)

(2)试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值。

(3)请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形?

你发现了几种情况?写出你的研究成果。

【答案】解：(1)3—x ; x 。

(2)设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=3-x，MA边上的高为 x，其中，0≤x≤3。

∴ 。

∴S的最大值为 ，此时x= 。

(3)延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA。

①若MP=PA，

∵PQ⊥MA，∴MQ=QA。

又∵QA=x，MQ=3-2x

∴3-x = 2x。∴x=1。

②若MP=MA，则MQ=3-2x，PQ= x，PM=MA=3-x。

在Rt△PMQ中，∵PM2=MQ2+PQ2，

∴(3-x) 2=(3-2x) 2+ ( x) 2。∴x= (x=0舍去)。

③若PA=AM，则PA= x，AM=3-x

∴ x=3-x。∴x= 。

综上所述，当x为以下值时，△MPA是一个等腰三角形：x=1或x= 或x= 。

【考点】二次函数综合题，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质。

【分析】(1)由题意可知C(0，4)，A(3，0)，所以由待定系数法可求出直线AC解析式为：y=- x+4。因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为3-x，代入直线AC中得y= x，所以P点坐标为(3-x， x)。

(2)通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值。

(3)可分MP=AP，AP=AM，MP=MA三种情况进行讨论即可。

9.(江苏省苏州市2005年7分)苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：

①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租;

②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗;

③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益;

④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益;

(1)若租用水面 亩，则年租金共需__________元;

(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益-成本);

(3)李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元?

【答案】解：(1)500n。

(2)每亩收益=4×1400+20×160=8800，

每亩成本=4×(75+525)+20×(15+85)+500=4900，

每亩利润=8800-4900=3900。

(3)设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元，

则年内总成本为 4900n=25000+x，即x=4900 n -25000 ①

根据题意，有

将①代入②，得4900 n -25000≤25000， 即 n≤ ≈10.2。

将①代入③，得3508n≥33000，即 n≥ ≈9.4。

∴ n=10(亩)。

x=4900 ×10 -25000=24000(元)。

∴李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元。

【考点】一元一次不等式的应用

【分析】(1)年租金=每亩水面的年租金×亩数。

(2)年利润=收益-成本

=(蟹苗收益+虾苗收益)-(蟹苗成本+虾苗成本)-水面年租金-饲养总费用

(3)设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元。依题意，有①年内总成本为： 4900n=25000+x;②向银行贷款不超过25000元： ;③年利润超过35000元： 。解之即得所求。

10.(江苏省苏州市2005年8分)如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)。D是BC边上的动点(与点B、C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD;再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合。

(1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式;

(2)设 ， ，求 关于 的函数关系式，并求 的最小值;

(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线 的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想;如果直线DE与抛物线 始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。

2012中考科目：

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