∵∠PBA是△GBP的外角，∴∠PBA>∠PGB。，

又∵∠PAB=∠GAP，

∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，

∵GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG。

由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，∴∠ABP=∠GBP=90°。

在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PA=8，

∴PB=4，AB= ，OB= ，∴P(- ，4)。

综上所述，存在点P1( ，4)、P2(- ，4)使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。

【考点】圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定。

【分析】(1)点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况.根据垂径定理得到 ，则 ，再根据半圆的度数是180°，从而求得 的度数是60°，则劣弧 的度数是120°，从而求得∠BPA的度数。

(2)分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合(1)中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解。

9. (江苏省常州市2005年8分)有一个Rt△ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数 的图象上，求点C的坐标.

【答案】解：本题共有4种情况：

(1)如图①，过点A做AD⊥BC于D，

在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=600，AB=1，

∴ 。

在Rt△ABC中，∠ADB=900，∠B=600，AB=1，

∴AD=ABsin60°= ，BD= ABcos60°= 。

∴点A的纵坐标为 。

将其代入 ，得x=2，即OD=2 。

∴OC=OB+BC=(OD-BD)+BC=(2- )+2= 。

∴点C1的坐标为( )。

(2)如图②，过点A作AE⊥BC于E，

同上，可得AE= ，OE=2，CE= ，OC= 。

∴点C2的坐标为( ，0)。

根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为( )， 点C4的坐标为( )。

综上所述，点C的坐标分别为：( )、( ，0)、( )、( )。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。

10. (江苏省常州市2005年12分)已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为( ，0)，顶点A在 轴上方，顶点D在⊙O上运动.

(1)当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗?如果相切，请说明理由，并求

出OD所在直线对应的函数表达式;如果不相切，也请说明理由;

(2)设点D的横坐标为 ，正方形ABCD的面积为S，求出S与 的函数关系式，并求出S的最大

值和最小值.

【答案】解：(1)CD与⊙O相切。理由如下：

∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，

∴∠COD=90°。∴CD是⊙O的切线 。

CD与⊙O相切时，有两种情况：

①切点在第二象限时(如图①)，

设正方形ABCD的边长为a，

则a2+(a+1)2=13，

解得a=2，或a=-3(舍去)。

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，

∴ ，即 。∴DE= ，OE= 。

∴点D的坐标是(- ， )。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y= 。

②切点在第四象限时(如图②)，

设正方形ABCD的边长为b，

则b2+(b-1)2=13，

解得b=-2(舍去)，或b=3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，

∴ ，即 。

∴OF= ，DF= 。

∴点D的坐标是( ，- )。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y= 。

(2)如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，

则BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2

= 。

∴S=AB2= 。

∵-1≤x≤1，

∴S的最大值为 ，最小值为 。

【考点】一次函数综合题，圆切线的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)易证CD是⊙O的切线，分点D在第二象限和第四象限两种情况，求出D的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式。

(2)过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2，所以S=AB2= 。因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出。

11. (江苏省常州市2006年8分)在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图像与 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。

【答案】解：本题共有4种情况：

设二次函数的图像得对称轴与 轴相交于点E，

(1)如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，

∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE= 。

∴点B的坐标为( ，0)，点C的坐标为(1，-1)，

∵点B、C在二次函数的图像上，

∴ ， 解得 。

∴此二次函数的表达式 。

(2)如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，

由菱形性质知点A的坐标为(0，0)，点C的坐标为(1， )，

解得

∴此二次函数的表达式为 。

同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为

。

综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：

， ，

。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。

【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：

(1)以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上;

(2)以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下;

(3)以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上;

(4)以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。

利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。

12. (江苏省常州市2006年10分)如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与 轴相交于点A，与 轴相交于点B。

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由;

(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)线段AB长度的最小值为4。 理由如下：

连接OP，

∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB。

取AB的中点C，则AB=2OC 。

当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。

此时AB=4。

(2)设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形

若OA是对角线， 如图①，

∵OP⊥AB，OP=OQ

∴四边形APOQ为正方形。

∴ 在Rt△OQA中， OQ=2，∠AOQ=450，

∴Q点坐标为( )。

若OP是对角线，如图②，

∵OQ∥PA，OP⊥AB，∴∠POQ=900。

又∵OP=OQ，∴∠PQO=450。

∵ PQ∥OA，∴ 轴。

设 轴于点H，

在Rt△OHQ中，OQ=2，∠HQO=450，

∴Q点坐标为( )。

综上所述，符合条件的点Q的坐标为( )或( )。

【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP

(2)分两种情况：如图(1)，当OA是对角线时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( )：如图(2)，当OP是对角线时，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( )。

13. (江苏省常州市2007年9分)已知，如图，正方形 的边长为6，菱形 的三个顶点 分别在正方形 边 上， ，连接 .

(1)当 时，求 的面积;

(2)设 ，用含 的代数式表示 的面积;

(3)判断 的面积能否等于 ，并说明理由.

【答案】解：(1)∵正方形 的边长为6， ，∴ 。

又∵ ，∴ ，即菱形 的边长为 。

在 和 中，

， ， ，

∴ 。∴ 。

∵ ，∴ 。

∴ ，∴菱形 是正方形。

同理可以证明 。

∴ ，即点 在 边上，同时可得 。

∴ 。

(2)作 ， 为垂足，连结 。

∵ ，∴ 。

∵ ，∴ 。

∴ 。

在 和 中， ， ，

∴ 。

∴ 。

∴无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2。

∴ 。

(3)若 ，由 ，得 。

此时，在 中， 。

相应地，在 中， ，即点 已经不在边 上。

故不可能有 。

【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。

【分析】(1)由已知可用 证得 和 ，从而此时菱形 是正方形。同理可以证明 ，从而证得点 在 边上，同时可得 。面积可求。

(2)通过 的证明，得到无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2的结论。 的面积可求。

(3)用反证法，先假设 ，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。

14. (江苏省常州市2007年10分)已知A 与B 是反比例函数 图象上的两个点.

(1)求 的值;

(2)若点C ，则在反比例函数 图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵A 与B 是反比例函数 图象上的两个点，

∴ ，解得 。

∴ 。

(2)如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，

∵B(2， )，C(-1，0)，

∴CE=3，BE= ，BC= 。

∴∠BCE=30°，

由于点C与点A的横坐标相同，因此CA⊥x轴，从而∠ACB=120°。

①当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意。

②如图1，当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D。设BC的解析式为：

∵B(2， )，C(-1，0)，

∴ ，解得 。∴BC的解析式为 。

∵AD∥BC，∴设AD的解析式为 。

∵A ，∴ ，解得 。

∴AD的解析式为 。

由 ，解得 ， 。

∴D(6， )。

此时AD= ，与BC= 不等，故四边形ADBC是梯形。

③如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线的交点为D。设AB的解析式为： 。

∵A ，B(2， )，

∴ ，解得 。

∴AB的解析式为 。

∵CD∥AB，∴设CD的解析式为 。

∵C(-1，0)，∴ ，解得 。

∴CD的解析式为 。

由 ，解得 ， 。

∴D(-2， )或(1， )。

此时CD=2或CD=4，与AB=6不等，故四边形ABCD或ABDC是梯形。

综上所述，符合条件的点D的坐标为(6， )，(-2， )，(1， )。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，梯形的判定。

【分析】(1)由于A 与B 是反比例函数 图象上的两个点，根据曲线上点的坐标与方程的关系，可列方程组求k的值。

(2)判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等.求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行。

15. (江苏省常州市2008年7分)2008年5月12日四川汶川地区发生8.0级特大地震，举国上下通过各

种方式表达爱心。某企业决定用p万元援助灾区n所学校，用于搭建帐篷和添置教学设备。根据各校不同的受灾情况，该企业捐款的分配方案是:所有学校得到的捐款数都相等，到第n所学校的捐款恰好分完，捐款的分配方法如下表所示.(其中p,n,a都是正整数)

分配顺序 分配数额(单位:万元)

帐篷费用 教学设备费用

第1所学校 5 剩余款的

第2所学校 10 剩余款的

第3所学校 15 剩余款的

… … …

第(n-1)所学校 5(n-1) 剩余款的

第n所学校 5n 0

根据以上信息，解答下列问题：

(1)写出p与n的关系式;

(2)当p=125时，该企业能援助多少所学校?

(3)根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过20a万元的捐款，按照原来的分配方案援助其它学校。若a由 (2)确定，则再次提供的捐款最多又可以援助多少所学校?

【答案】解：(1)∵所有学校得到的捐款数都为5n万元，

∴p=n×5n=5n2(n为正整数)。 (2)当p=125万元时，5n2=125，∴n2=25，n=±5。

∵n是正整数，∴n=5。

∴该企业的捐款可以援助5所学校。

(3)由(2)知，第一所学校获得捐款125÷5=25万元，

∴ ，解得a=6。

∴该企业计划再次提供的捐款为20×6=120万元。

根据题意，得5n2≤120，∴n2≤24。

∵n是正整数，∴n最大为4。

∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校。

【考点】方程和不等式的应用。

【分析】(1)根据每所学校得到的捐款相同，可以根据“捐款总数=学校数×每个学校得到的捐款数”列出关系式。

(2)把p=125代入解析式求解。

(3)根据(2)的方案，由捐款的分配方法可求出a，从而求出该企业计划再次提供的捐款额。再由5n2≤120求出n的取值范围，再计算出n的值。

16. (江苏省常州市2008年11分)如图，抛物线 与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为

A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点.

(1) 求点A的坐标;

(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊

四边形的顶点P的坐标;

(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当 时，

求x的取值范围.

【答案】解：(1)∵ ，∴A(-2，-4)。

(2)当四边形ABP1O是菱形时，P1(-2，4);

当四边形ABOP2是等腰梯形时，P2( )：

当四边形ABP3O是直角梯形时，P3( );

当四边形ABO P4是直角梯形时，P4( )。

(3)∵A(-2，-4)，B(-4，0)。∴AB的解析式为 。

∴直线l的解析式为 。

设点P坐标为(x，-2x)。

①当点P在第二象限时，x<0， 。

又 ，

∴ 。

∵ ，

∴ ，解得 。

∴x的取值范围是 。

②当点P在第四象限时，x>0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′。

则

。

∵ ，

∴ 。

∵ ，

∴ ，解得 。

∴x的取值范围是 。

综上所述，当 时，x的取值范围为

或 。

【考点】二次函数综合题，

【分析】(1)已知抛物线的解析式，可根据顶点公式或将解析式化为顶点式，可求出A点的坐标。

(2)由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，所以直线l对应的函数关系式为y=-2x。

若ABP1O为菱形时，根据菱形的性质，则P1点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线

y=-2x就可求出纵坐标，则P1坐标就求出：P1(-2，4)。

若ABOP2为等腰梯形时，OA=BP2，已知O，A坐标，可求出OA长度： 。设P2横坐标为a，将x=a代入y=-2x，得y=-2a，∴P2(a，-2a).

∴由OA=BP2得，(-4-a)2+(0+2a)2 =20，

解得，a=-2(舍去)，a= ，故P2( )。

若ABP3O为直角梯形时，BP3与AB垂直，可求出直线BP3的关系式：y= x+2。

直线BP3与直线l的交点(联立y= x+2和y=-2x)即P3点坐标：P3( )。

若四边形ABO P4是直角梯形时，AP4与AB垂直，可求出直线AP4的关系式：y= x-3。

直线AP4与直线l的交点(联立y= x-3和y=-2x)即P4点坐标：P4( )。

(3)根据图分析有两种情况可以构成QABP为四边形，即当P在第二象限时和在第四象限时，当P在第二象限时，四边形由△AOB和△POB组成，△AOB面积确定，则△POB的面积可以求出来，由于△AOB+△POB代入到面积的不等式中可以得出x的取值范围。同理可求P在第四象限时， x的取值范围。

17. (江苏省2009年12分)某加油站五月份营销一种油品的销售利润 (万元)与销售量 (万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

(1)求销售量 为多少时，销售利润为4万元;

(2)分别求出线段 与 所对应的函数关系式;

(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)

【答案】解：(1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为 (万升)。

答：销售量 为4万升时销售利润为4万元。

(2)∵点 的坐标为 ，从13日到15日利润为 (万元)，

∴销售量为 (万升)。∴点 的坐标为 。

设线段 所对应的函数关系式为 ，

则 ，解得 。

∴线段 所对应的函数关系式为 。

∵从15日到31日销售5万升，利润为 (万元)，

∴本月销售该油品的利润为 (万元)。∴点 的坐标为 。

设线段 所对应的函数关系式为 ，

则 ，解得 。

∴线段 所对应的函数关系式为 。

(3)线段 。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据公式：销售利润=(售价-成本价)×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量=销售利润÷(售价-成本价)。

(2)分别求出点 、 、 的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出 和 所对应的函数关系式。

(3) 段的利润率= ;

段的利润率= ;

段的利润率= 。

∴ 段的利润率最大。

18. (江苏省2009年12分)如图，已知射线 与 轴和 轴分别交于点 和点 .动点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 从点 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线 的方向作匀速运动.设运动时间为 秒.

(1)请用含 的代数式分别表示出点 与点 的坐标;

(2)以点 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于A、B两点(点 在点 的左侧)，连接PA、PB.

①当 与射线 有公共点时，求 的取值范围;

②当 为等腰三角形时，求 的值.

【答案】解：(1)∵ ，∴ 。∴ 。

过点 作 ⊥ 轴于点 ，

∵ ， ，∴ 。

又∵ ，且 ，

∴ ，即 。

∴ 。∴ 。

∴ 。

(2)①当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时，有 ，即 。

当点 在点 左侧， 与射线 相切时，过点 作 射线 ，垂足为 ，则由 ，得 ，

则 .解得 。

由 ，即 ，解得 。

∴当 与射线 有公共点时， 的取值范围为 。

②(I)当 时，过 作 轴，垂足为 ，有 。

由(1)得， ， ，

∴ 。

又∵ ，∴ ，即 。

解得 。

(II)当 时，有 ，∴ ，解得 。

(III)当 时，有 ，

∴ ，即 。

解得 (不合题意，舍去)。

综上所述，当 是等腰三角形时， ，或 ，或 ，或 。

【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。

【分析】(1)由 可得 ，从而得到点 的坐标。作点 作 ⊥ 轴于点 ，利用 可得 ，从而得到点 的坐标。

(2)①当 与射线 有公共点时，考虑(I)当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时， 的取值 ;(II)当点 在点 左侧， 与射线 相切时， 的取值。当 在二者之间时， 与射线 有公共点。

②分 ， ， 三种情况讨论即可。

19. (江苏省常州市2010年9分)如图，已知二次函数 的图像与 轴相交于点A、C，与 轴相较于点B，A( )，且△AOB∽△BOC。

(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数 的关系式;

(2)在线段AC上是否存在点M( )。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由。

【答案】.解：(1)∵当 =0时， =3，∴B(0，3)。

∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC， 。

∵OA= ，OB=3，∴ ，解得OC=4。∴C(4，0)。

∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°。∴∠ABC=90°。

∵ 图象经过点A( )，C(4，0)，

∴ ，解得 。

∴二次函数 的关系式为 。

(2)存在。分三种情况：

①如图1，当CP=CO时，点P在以BM为直径的圆上，

∵BM为圆的直径， ∴∠BPM=90°。

又∵∠ABC=90°，∴PM∥AB。

∴△CPM∽△CBA。∴ 。

∵OC=4，OB=3，∴CB=5。

又CA= ，CP=CO=4，∴ ，解得CM=5。

∴ =-1。

②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，

则CP= 。

由△CPM∽△CBA，得 ，即 ，

解得 CM= 。

∴ 。

③当OC=OP时，M点不在线段AC上。

综上所述， 的值为 或-1。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行的判定，线段中垂线的性质。

【分析】(1)由点B是二次函数 的图像与 轴的交点，令 =0，即可得点B的坐标，从而由△AOB∽△BOC得对应边的比，求得C(4，0)。由三角形内角和定理求出∠ABC=90°。由二次函数 图象经过点A( )，C(4，0)，用待定系数法求出函数关系式。

(2)分CP=CO，PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。

20. (江苏省常州市2010年10分)如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ。设AP=x。

(1)当PQ∥AD时，求x的值;

(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围;

(3)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

【答案】解：(1)当PQ∥AD时，AP=DQ，即x=8-x，解得x=4。

(2)设线段PQ的垂直平分线与BC边相交于点E，如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，

∴ ，即 。

∵0≤y≤6，∴0≤ ≤6，解得 。

(3)由题意 ∵AP=CQ，∴

∵ ，

∴

整理得：

当x=4时，S有最小值12。

当x= 或x= 时，S有最大值 。

∴12≤S≤ 。

【考点】动点问题，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，梯形的面积，二次函数的性质。

【分析】(1)根据题意，列出符合题意的方程x=8-x，解出即可。

(2)由AP=CQ，根据矩形的性质，得到 。

从而由 ，分别表示出 和 即可求出S关于x的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的取值范围。

21. (2011江苏常州9分)在平面直角坐标系XOY中，一次函数 的图像是直线 ， 与 轴、 轴分别相交于A、B两点。直线 过点 且与直线 垂直，其中 >0。点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。

⑴写出A点的坐标和AB的长;

⑵当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线 、 轴都相切，求此时 的值。

【答案】解：(1)∵一次函数 的图象直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴y=0时，x=-4， ∴A(-4，0)，AO=4，

∴x=0时，y=3， ∴B(0，3)，BO=3， ∴AB=5。

∴A点坐标为(-4，0)，AB的长为5。

(2)由题意得：AP=4t，AQ=5t，

又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P在 上， ∴⊙Q在运动过程中保持与 相切，

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，

∴AQ=AO+OQ=4+PQ

由△APQ∽△AOB得：

∴PQ=6;

设 与⊙Q相切于E，连接QE，则∵⊙Q与 和 都相切，∴QE=PQ=6。

由△QEC∽△APQ∽△AOB，得： ，

∴ 。

②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，

∴AQ=AO—OQ=4—PQ

由△APQ∽△AOB得：

∴PQ= ;

设 与⊙Q相切于F，连接QF，则∵⊙Q与 和 都相切，∴QF=PQ= 。

由△QFC∽△APQ∽△AOB，得： ，

∴ 。

∴ 。

【考点】一次函数，勾股定理，相似三角形的判定的性质。圆心距和切线的关系。

【分析】(1)由点在直线上，点的坐标满足方程，很易求出A和B点的坐标，应用勾股定理即可求出AB的长。

(2)首先用相似三角形的判定方法得出相似三角形，再应用三角形对应边的比求出满足条件的 的值。

22. (2011江苏常州10分)在平面直角坐标系XOY中，直线 过点 且与 轴平行，直线 过点 且与 轴平行，直线 与直线 相交于点P。点E为直线 上一点，反比例函数 ( >0)的图像过点E与直线 相交于点F。

⑴若点E与点P重合，求 的值;

⑵连接OE、OF、EF。若 >2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标;

⑶是否存在点E及 轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在，求E点坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)∵直线 过点A(1，0)且与 轴平行，直线 过点B(0。2)且与 轴平行，直线 与直线 相交于点P，∴点P(1，2)。

若点E与点P重合，则k=1×2=2。

(2)当k>2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂

足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形

∵PE⊥PF，

∴

∴S△PEF=

∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF=S△GFE，

∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△GFE-S△OCE=

∵S△OEF=2S△PEF， ∴ ，解得k=6或k=2，

∵k=2时，E、F重合，舍去。 ∴k=6， ∴E点坐标为：(3，2)。

(3)存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF

①当k<2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H

∵△FHM∽△MBE， ∴

∵FH=1，EM=PE=1- ，FM=PF=2-k，

∴ 。

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴(1- )2=( )2+( )2

解得k= ，此时E点坐标为( ，2)。

②当k>2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， 。

∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE= -1，

∴ = ，BM=2

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2

∴(k-2)2=( )2+22，解得k= 或0，但k=0不符合题意， ∴k= .

此时E点坐标为( ，2)

∴符合条件的E点坐标为( ，2)( ，2).

【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。

【分析】(1)易由直线 ， 求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在 图象上，坐标满足函数关系式，求出 。

(2)要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用 表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出 。

(3)要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用 表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出 。要注意应根据点P、E、F三点位置分k<2和k>2两种情况讨论。

23. (2012江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。

(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;

(2)若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ;

(3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)y=-x2+4x。

(2) 或 。

(3)存在。

过点P作PH⊥AB于点H。则

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，

∴P D′=PD=4-x，E D′=ED= y=-x2+4x，EA=AD-ED= x2-4x+2，∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4-x，D′H= 。

∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

∴△E D′A∽△D′P H。∴ ，即 ，

即 ，两边平方并整理得，2x2-4x+1=0。解得 。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E在边AD上，符合题意。

∴当 时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。

【分析】(1)∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4-x，且△MCP∽△PDE，

∴ ，即 。∴y=-x2+4x。

(2)当点E与点A重合时，y=2，即2=-x2+4x，x2-4x+2=0。

解得 。

(3)过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。

24. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心， 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。

(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);

(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

(3)连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数。

【答案】解：(1)B(3m，0)，E(m，4m)。

(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由(1)知B(3m，0)，E(m，4m)，

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D(0，3m)。

∴ ， ，

。

∴ 。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B(3m，0)，E(m，4m)得G(2m，2m)。

过点G作GI⊥DG于点I，则I(0，2m)。

根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q(0，m)。

∴ 。

∴BQ=EQ。

(3)延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根据圆的对称性，OC=OA= m。

又∵OB=3m， ， ，

∴ 。 。

又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。

∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)，

∴ P(m，m)，H(m，0)，F(0，m)，OH=OF=HP= m。

∵PB= ，∴ 。

∴OB=3 m。∴B(3m，0)。

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D(0，3m)。

∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E(m，4 m)。

(2)由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。

(3)求出有关线段的长，可得 ，从而证得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。

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