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图形的变换常州市中考题

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编(12专题)

专题4：图形的变换

一、选择题

1. (江苏省常州市2005年2分)如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是【 】

A、正方体 B、长方体 C、三棱柱 D、圆锥

【答案】C。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。所给答案中只有三棱柱的俯视图为三角形，故选C。

2. (江苏省常州市2005年2分)下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：

将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是【 】

A、③④②① B、②④③① C、③④①② D、③①②④

【答案】C。

【考点】平行投影

【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序：

从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长。所以正确的是

③④①②。故选C。

3. (江苏省常州市2005年2分)若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正

方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的

面积超过7，则正方体的个数至少是【 】

A、2 B、3 C、4 D、5

【答案】B。

【考点】几何体的表面积，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据图示逐层算出露出的面积加以比较即解：

∵要求塔形露在外面的面积超过7(不包括下底面)，最下面的立方体棱长为1，

∴最下面的立方体露出的面积为：4×(1×1)+0.5=4.5。

假如上面一层没有立方体的话，第二层露出的面积为 ，这两层加起来的面积为：

7。不符合题意。

假如上面一层有立方体的话，第二层露出的面积为 ，这两层加起

来的面积为：6.75。

假如再上面一层没有立方体的话，第三层露出的面积为 ，这三层加起来的面积为：8。符合题意。

∴立方体的个数至少是3。故选B。

4. (江苏省常州市2006年2分)图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在【 】

A.P区域 B.Q区域 C.M区域 D.N区域

【答案】B。

【考点】视点、视角和盲区

【分析】根据视点、视角和盲区的定义，由图片可知，只有Q区域同时处在三个侧面的观察范围内。故选

B。

5. (江苏省常州市2006年2分)下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中

的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为【 】

A B C D

【答案】C。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从正面看所得到的图形即可：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图从左到右的列数分别是4，3，2。故选C。

6. (江苏省常州市2007年2分)下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的，其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是【 】

【答案】C。

【考点】展开图折叠成几何体。

【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题：

A、折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体;

B、折叠后缺少下底面，故不能折叠成一个正方体;

C、可以折叠成一个正方体;

D、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以也不能折叠成一个正方体。

故选C。

7. (江苏省常州市2008年2分)如图,它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体，下图中的黑色小

正方形分别由四位同学补画，其中正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】展开图折叠成几何体。

【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题：

选项A，C，D折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面，不能折成正方体.B可成正方体。故选B。

8. (江苏省2009年3分)下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B。

【考点】简单几何体的三视图。

【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体。故选B。

9. (江苏省常州市2010年2分)如图所示几何体的主视图是【 】

A B C D

【答案】B。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】根据三视图画法规则：(1)高平齐：正视图和侧视图的高保持平齐;(2)宽相等：侧视图的宽和俯视图的宽相等;(3)长对正：正视图和俯视图的长对正。由图可得，主视图应该是三列，正方体的数目分别是：1、2、1。故选B。

10. (2011江苏常州2分)已知某几何体的一个视图(如图)，则此几何体是【 】

A.正三棱柱 B.三棱锥 C.圆锥 D.圆柱

【答案】C。

【考点】图形的三视图。

【分析】从基本图形的三视图可知：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，所以A和B选项错误;圆柱的主视图和俯视图是长方形，所以D选项错误;圆锥的主视图和俯视图是三角形，正确。故选C。

11. (2012江苏常州2分)如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【 】

【答案】B。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。故选B。

二、填空题

1. (江苏省常州市2004年2分)有两块同样大小且含角60°的三角板，把它们相等的边拼在一起(两块

三角板不重叠)，可以拼出 ▲ 个四边形。

【答案】4。

【考点】全等三角形的性质，多边形。

【分析】利用三角板动手拼一拼便知，是个动手操作的题目：

当斜边拼在一起时，可以拼出两个四边形，一个矩形和其他的四边形;

每组相等的直角边拼在一起时都能拼出一个平行四边形，一个等腰三角形。

所以把两块同样大小且含角60°的三角板相等的边拼在一起可以拼出4个四边形。

2. (江苏省常州市2008年3分)若将棱长为2的正方体切成8个棱长为1的小正方体，则所有小正方

体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍;若将棱长为3的正方体切成27个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍;若将棱长为n(n>1，且为整数)的正方体切成n3个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍.

【答案】2;3;n。

【考点】几何体的表面积。

【分析】根据正方体的概念和特性以及表面积的计算公式即可解

棱长为n(n>1，n为整数)的正方体的表面积是6n2，把它切成n3个棱长为1的小正方体，则每个小正方体的表面积是6×12=6，则所有小正方体表面积的和是6n3，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 倍。

当n=2时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的2倍;当n=3时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的3倍。

3. (江苏省常州市2010年2分)如图，圆圈内分别有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤

每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方

向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ▲ 。

【答案】6。

【考点】分类归纳(图形的变化类)。

【分析】寻找规律，根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环：

若余数为0，圆圈所标的数字是0;

若余数为1，圆圈所标的数字是11;

若余数为2，圆圈所标的数字是10;

若余数为3，圆圈所标的数字是9;

…;

若余数为11，圆圈所标的数字是1。

∵2010除12余数为6，∴该圆圈所标的数字是6。

4. (2011江苏常州2分)把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体(且没有剩余)，其中

棱长为1的正方体的个数为 ▲ 。

【答案】24.

【考点】图形的拼接。

【分析】(思路1)棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。

29个正方体从小到大的体积分别为1,1,1，.....1,(1+7)......

一共29个 ，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64-29=35，要分别给棱长为2或者3的组合

。

(1)若只有棱长2的，多出来的体积35=7+7+7+7+7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的 。

(2)若有棱长为3的，多出来的体积35-26=9，后面不能被整除，无解。

所以只有一种可能，24个棱长为1的， 5个棱长为2的。

(思路2)情况1：设棱长为3的正方体的个数为 ，棱长为2的正方体的个数为 ，则棱长为1的正方体的个数为 。依题意有

所以不存在 使 为正整数。

情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为 ，则棱长为2的正方体的个数为 。依题意有 。

情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为 ，则棱长为3的正方体的个数为 。依题意有 无整数解。

三、解答题

1. (2001江苏常州6分)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD= ，AD=1，∠B=450，动点E在折线BA-AD-DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP=x，请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积。

【答案】解：作AF⊥BC于F，DG⊥BC于G。

在Rt△ABF中，AB=CD= ，∠B=45°，∴AF=BF=1。

同理，DG=CG=1，则BC=1+1+1=3。

则梯形的面积= (1+3)×1=2。

当E分别在折线BA、AD、DC上移动时：

(1)如图1，当点E在AB上时，则

△BEP的面积是 ;

五边形AEPCD的面积= 。

(2)如图2，当点E在AD上时，则

四边形ABPE的面积= ;

四边形CDEP的面积=2- 。

(3)如图3，当点E在CD上时，则

△CEP的面积= ;

五边形ABPED的面积= 。

【考点】动点问题，梯形的性质。

【分析】由于动点E在折线BA-AD-DC上移动，所以此题应分别画出对应的三种情况进行讨论计算。作等腰梯形的两条高，根据已知的线段和已知的角求得该梯形的高是1，下底是3.再进一步根据BP=x进行表示各个图形的面积。

2. (江苏省常州市2003年8分)当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想?

如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想。

(1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式;

(2)当a=2.5，b=2，m=1.6，求：

(ⅰ)点E和墙壁距离x;

(ⅱ)最大视角∠PEQ的度数(精确到1度)。

3. (江苏省常州市2005年6分)如图，在△ABC中，BC=1，AC=2∠C=900，.

(1)在方格纸①中，画 ，使 ∽△ABC，且相似比为2︰1;

(2)若将(1)中 称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线 为对称轴的图案.

【答案】解：作图如下：答案不唯一。

【考点】作图(相似变换)，利用旋转、轴对称设计图案/

【分析】(1)根据相似比是1：2，画出画△A'B'C'。

(2)答案不唯一只要符合题意即可。

4. (江苏省常州市2006年6分)将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割，纸片均不得有剩余);

第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形;

第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形;

按上述分割方法进行下去……

(1)请你在下图中画出第一次分割的示意图;

(2)若原正六边形的面积为 ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：

分割次数(n) 1 2 3 ……

正六边形的面积S

(3)观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数 有何关系?(S用含 和n的代数式表示，不需要写出推理过程)。

【答案】解：(1)第一次分割的示意图如图：

(2)

分割次数(n) 1 2 3 ……

正六边形得面积S

……

(3) 。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，菱形和正三角形的性质，相似多边形的性质。

【分析】(1)根据正六边形的每一个角是60°和各边都相等，可以作两个内角的角平分线，构造三个菱形;再进一步找到其中一个菱形的各边中点，进行分割成正六边形和两个全等的三角形。

(2)根据正六边形的面积比是边长的比的平方，发现每一次分割得到的正六边形的边长都是上一次正六边形的边长的 ，则面积是上一次的正六边形的面积的 。根据这一规律完成表格。

(3)根据上述规律即可得到分割n次时，则 。

5. (江苏省常州市2008年6分)已知:如图，在8×12的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，四边

形ABCD的顶点都在格点上.

(1) 在所给网格中按下列要求画图:

① 在网格中建立平面直角坐标系(坐标原点为O)，使四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 A(-5，0)、

B(-4，0)、C(-1，3)、D(-5，1);

②将四边形ABCD沿坐标横轴翻折180°，得到四边形A’B’C’D’，再将四边形A’B’C’D’绕原点O旋

转180°，得到四边形A”B”C”D”;

(2)写出C”、D”的坐标;

(3)请判断四边形A”B”C”D”与四边形ABCD成何种对称?若成中心对称，请写出对称中心;若成轴对称,请写出对称轴.

【答案】解：(1)①根据题意建立平面直角坐标系。②根据题意，作四边形正确画图A′B′C′D′和A″B″C″D″。

(2)C″(1，3)，D″(5，1)。

(3)成轴对称，对称轴是y轴。

【考点】作图(旋转变换，轴对称变换) ，关于x轴对称和关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】(1)①根据A(-5，0)可知，坐标轴的原点在点A右五个格的位置。所此画出坐标轴。

②根据翻折和旋转对称的性质作出四边形A′B′C′D′和A″B″C″D″。

(2)由翻折和旋转对称的性质可知：

C(-1，3) 沿坐标横轴翻折180° 得C′(-1，-3)，再绕原点O旋转180°，得C″(1，3);

D(-5，1) 沿坐标横轴翻折180° 得D′(-5，-1)，再绕原点O旋转180°，得D″(5，1)。

(3)从图上可以观察出成轴对称，对称轴是y轴。

6. (江苏省常州市2008年8分)如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为

2，这样的纸片共有5张。打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图，并写出它们的周长。

【答案】解：一共可以拼出4种不同的等腰梯形.示意图为：

【考点】等腰梯形的性质。

【分析】根据题意，可考虑等积的分割与拼接。

7. (江苏省2009年10分)(1)观察与发现

小明将三角形纸片 沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到 (如图②).小明认为 是等腰三角形，你同意吗?请说明理由.

(2)实践与运用

将矩形纸片 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点 处，折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中 的大小.

【答案】解：(1)同意。理由如下：

如图，设 与 交于点 。

由折叠知， 平分 ，∴ 。

又由折叠知， ，

∴ 。

∴ 。

∴ ，即 为等腰三角形。

(2)由折叠知，四边形 是正方形， ，∴ 。

又由折叠知， ，∴ 。

∴ 。

【考点】折叠问题，对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，正方形的判定和性质。

【分析】(1)由折叠对称的性质，可得 和 ，从而可得 ，根据等腰三角形等角对等边的判定得到 为等腰三角形的结论。

(2)由折叠对称的性质，可得 和 平分 ，从而 ，因此 。

8. (江苏省常州市2010年7分)如图，在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB>BC，∠BAC=∠DCE=∠a，点B、C、D在直线l上，按下列要求画图(保留画图痕迹)：

(1)画出点E关于直线l的对称点E′，连接CE′、DE′;

(2)以点C为旋转中心，将(1)中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA重合，得到△CD′E″(A)。画出△CD′E″(A)，并解决下面问题：

①线段AB和线段CD′的位置关系是 ，

理由是：

②求∠a的度数。

【答案】解：(1)作图如下：

(2)作图如下：

①平行。理由是：

∵∠DCE=∠DCE′=∠D′CA=∠α，

∴∠BAC=∠D′CA=∠α。

∴AB∥CD′。

②∵四边形ABCD′是等腰梯形，∴∠ABC=∠D′AB=2∠BAC=2∠α。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠α。

在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

解之得∠α=36°。

【考点】作图(轴对称和旋转变换)，轴对称和旋转的性质，平行的判定，等腰梯形的性质，三角形内角和定理。

【分析】(1)从点E向直线l引垂线，并延长相同单位，找到它的对称点E′，连接CE′、DE′。

(2)把CE′逆时针旋转与CA重合，再把CD逆时针旋转相同的角度，得到CD′，连接D′E″得到△CD′E″。

①等量代换利用平行线的判定即可证明是平行 。

②利用等腰梯形的性质及三角形的内角和是180度来计算。

9. (江苏省常州市2010年10分)如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ。设AP=x。

(1)当PQ∥AD时，求x的值;

(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围;

(3)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

【答案】解：(1)当PQ∥AD时，AP=DQ，即x=8-x，解得x=4。

(2)设线段PQ的垂直平分线与BC边相交于点E，如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，

∴ ，即 。

∵0≤y≤6，∴0≤ ≤6，解得 。

(3)由题意 ∵AP=CQ，∴

∵ ，

∴

整理得：

当x=4时，S有最小值12。

当x= 或x= 时，S有最大值 。

∴12≤S≤ 。

【考点】动点问题，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，梯形的面积，二次函数的性质。

【分析】(1)根据题意，列出符合题意的方程x=8-x，解出即可。

(2)由AP=CQ，根据矩形的性质，得到 。

从而由 ，分别表示出 和 即可求出S关于x的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的取值范围。

10. (2011江苏常州6分)已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2)。记AB的长度为 ，BM的长度为

⑴图形①中∠B= °，图形②中∠E= °;

⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”;另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。

①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为 的正十边形，需要这种纸片 张;

②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3)，其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ= ，IQ=JQ。请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹不。(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)

【答案】解：⑴72，36。

⑵①5。

②“风筝一号”纸片用两张和“飞镖一号”纸片用一张， 画法如下：

(一)以点P为圆心， 长为半径画弧，分别交PI、PJ于点M、N;

(二)分别以点M、N为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点O;

(三)连接OQ，OM，ON。

画出拼接线如图所示：

【考点】全等三角形判定和性质，四边形的内角和定理，菱形的性质，平行的性质，正十边形。

【分析】(1) 在图1图形①中，连接AM，如图所示：

∵AD=AB，DM=BM，AM为公共边， ∴△ADM≌△ABM，

∴∠D=∠B，

又∵四边形ABMD的内角和等于360°，

∠DAB=72°，∠DMB=144°，

∴∠B= =72°;

在图2中，∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，

∴∠CEF=180°-72°-72°=36°;

(2)①用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，得到“风筝一号”纸片的点A与正十边形的中心重合，∵∠A=72°，∴需要这种纸片的数量 ;

②考虑如图3的“大风筝”中∠Q=144°，而如图1的“风筝一号””中∠D=72°，恰恰是两个144°，这样在PI和PJ上都剩下 长，正好放下一个“飞镖一号”。

11. (2012江苏常州7分)平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=1500(如图)，现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

(1)点O的“距离坐标”为(0，0);

(2)在直线CD上，且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p，0);在直线AB上，且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0，q);

(3)到直线AB、CD的距离分别为p、q(p>0，q>0)的点的“距离坐标”为(p，q)。

设M为此平面上的点，其“距离坐标”为(m，n)，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

(1)画出图形(保留画图痕迹)：

①满足m=1且n=0的点的集合;

②满足m=n的点的集合;

(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式。

(说明：图中OI长为一个单位长)

【答案】解：(1)①如图1中，F1，F2即为所求;

②如图2中，两条角平分线即为所求。

(2)如图3，过点M作MH⊥AB于点H。则

根据定义，MH=m，MO=n。

∵∠BOD=1500，∠DOM=900(∵l⊥CD)，

∴ ∠HOM=600。

在Rt△MHO中， ，

∴ ，即 ，即 。

∴ m与n所满足的关系式为 。

【考点】新定义，作图(复杂作图)，含300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)①以点I为圆心，OI为半径画圆交AB于点E;以点O为圆心，OE为半径画圆交CD于点F1，F2，则F1，F2即为所求。

由作法知，OF1=2OI=2，由∠BOD=1500知∠EOF1=300，根据含300角直角三角形中300角所对边是斜边一半的性质，得点F1到AB的距离m =1，同时点F1在CD上，即n=0。同理，F2的证明。

②分别作∠BOD和∠BOC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足m=n，故两条角平分线即为所求。

(2)由已知和锐角三角函数定义即可得出m与n所满足的关系式。

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