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5.如图，在直角坐标系 中，点 为函数 在第一象限内的图象上的任一点，点 的坐标为 ，直线 过 且与 轴平行，过 作 轴的平行线分别交 轴， 于 ，连结 交 轴于 ，直线 交 轴于 .

(1)求证： 点为线段 的中点;

(2)求证：①四边形 为平行四边形;

②平行四边形 为菱形;

(3)除 点外，直线 与抛物线 有无其它公共点?并说明理由.

(08江苏镇江28题解析)(1)法一：由题可知 .

， ，

.························································································ (1分)

，即 为 的中点.··································································· (2分)

法二： ， ， .························································ (1分)

又 轴， .············································································· (2分)

(2)①由(1)可知 ， ，

， ，

.························································································· (3分)

，

又 ， 四边形 为平行四边形.················································ (4分)

②设 ， 轴，则 ，则 .

过 作 轴，垂足为 ，在 中，

.

平行四边形 为菱形.············································································ (6分)

(3)设直线 为 ，由 ，得 ， 代入得：

直线 为 .······················ (7分)

设直线 与抛物线的公共点为 ，代入直线 关系式得：

， ，解得 .得公共点为 .

所以直线 与抛物线 只有一个公共点 .········································ (8分)

6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;

(2)求证：① CB=CE ;② D是BE的中点;

(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………(2分)

∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………(3分)

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 ，即 . (6分)

(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

A

B

C

O

D

E

x

y

x=2

G

F

H

则BG⊥直线x=2，BG=4.

在Rt△BGC中，BC= .

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5. ……………………(9分)

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴ △DFB≌△DHE (SAS)，

∴ BD=DE.

即D是BE的中点. ………………………………(11分)

(3) 存在. ………………………………(12分)

由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1) C(2,0)代入，得 . 解得 .

∴ 直线CD对应的函数关系式为y= x-1.

∵ 动点P的坐标为(x， )，

∴ x-1= . ………………………………(13分)

解得 ， . ∴ ， .

∴ 符合条件的点P的坐标为( ， )或( ， ).…(14分)

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =- + + 经过A(0，-4)、B( ，0)、 C( ，0)三点，且 - =5.

(1)求 、 的值;(4分)

(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形;(3分)

(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形?若不存在，请说明理由.(3分)

解：

(解析)解：(1)解法一：

∵抛物线 =- + + 经过点A(0，-4)，

∴ =-4 ……1分

又由题意可知， 、 是方程- + + =0的两个根，

∴ + = ， =- =6·································································· 2分

由已知得( - ) =25

又( - ) =( + ) -4 = -24

∴ -24=25

解得 =± ·········································································································· 3分

当 = 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去.

∴ =- . ········································································································ 4分

解法二：∵ 、 是方程- + +c=0的两个根，

即方程2 -3 +12=0的两个根.

∴ = ，·········································································· 2分

∴ - = =5，

解得 =± ······························································································ 3分

(以下与解法一相同.)

(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分

又∵ =- - -4=- ( + ) + ······························· 6分

∴抛物线的顶点(- ， )即为所求的点D.·································· 7分

(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为(-6，0)，

根据菱形的性质，点P必是直线 =-3与

抛物线 =- - -4的交点， ························································· 8分

∴当 =-3时， =- ×(-3) - ×(-3)-4=4，

∴在抛物线上存在一点P(-3，4)，使得四边形BPOH为菱形. ·········· 9分

四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是(-3，3)，但这一点不在抛物线上.·························································································· 10分

8.已知：如图14，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与直线 相交于点 ，点 ，直线 与 轴交于点 .

(1)写出直线 的解析式.

(2)求 的面积.

(3)若点 在线段 上以每秒1个单位长度的速度从 向 运动(不与 重合)，同时，点 在射线 上以每秒2个单位长度的速度从 向 运动.设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最大，最大面积是多少?

(解析)解：(1)在 中，令 ， ， ·············································· 1分

又 点 在 上

的解析式为 ············································································ 2分

(2)由 ，得 ·················································· 4分

， ， ······························································································ 5分

························································································ 6分

(3)过点 作 于点 ······························································································· 7分

·········································································································· 8分

由直线 可得： 在 中， ， ，则 ， ······················································································ 9分

··················································································· 10分

···························································································· 11分

此抛物线开口向下， 当 时， 当点 运动2秒时， 的面积达到最大，最大为 .······················ 12分

相关链接：2012中考数学压轴题及答案40例（3）