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9.已知，在Rt△OAB中，∠OAB=900，∠BOA=300，AB=2。若以O为坐标原点，OA所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。

(1)求点C的坐标;

(2)若抛物线 ( ≠0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式;

(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作 轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由。

注：抛物线 ( ≠0)的顶点坐标为 ，对称轴公式为

解: (1)过点C作CH⊥ 轴，垂足为H

∵在Rt△OAB中，∠OAB=900，∠BOA=300，AB

∴OB=4，OA= 由折叠知，∠COB=300，OC=OA= ∴∠COH=600，OH= ，CH=3

∴C点坐标为( ，3)

(2)∵抛物线 ( ≠0)经过C( ，3)、A( ，0)两点

∴ 解得： ∴此抛物线的解析式为： (3)

存在。因为 的顶点坐标为( ，3)即为点C

MP⊥ 轴，设垂足为N，PN= ，因为∠BOA=300，所以ON= ∴P( ， )

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E

把 代入 得： ∴ M( ， )，E( ， )

同理：Q( ， )，D( ，1)

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD

即 ，解得： ， (舍)

∴ P点坐标为( ， )

∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为( ， )

10.如图，抛物线 与x轴交A、B两点(A

点在B点左侧)，直线 与抛物线交于A、C两点，其中

C点的横坐标为2.

(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平

行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;

(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，

使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F

点坐标;如果不存在，请说明理由.

解：(1)令y=0，解得 或 ∴A(-1，0)B(3，0);

将C点的横坐标x=2代入 得y=-3，∴C(2，-3)

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)

则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，

E( ∵P点在E点的上方，PE= ∴当 时，PE的最大值= (3)存在4个这样的点F，分别是 11.如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 .

(1)求抛物线的对称轴;

(2)写出 三点的坐标并求抛物线的解析式;

(3)探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点 坐标;不存在，请说明理由.

解：(1)抛物线的对称轴 (2) 把点 坐标代入 中，解得

(3)存在符合条件的点 共有3个.以下分三类情形探索.

设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 .

过点 作 轴于 ，易得 ， ， ， ① 以 为腰且顶角为角 的 有1个： .

在 中， ②以 为腰且顶角为角 的 有1个： .

在 中， ③以 为底，顶角为角 的 有1个，即 .

画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此时平分线必过等腰 的顶点 .

过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显然 .

.

于是

12.如图，对称轴为直线 的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).

(1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E( ， )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围;

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由.

解：(1)由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 .

把A、B两点坐标代入上式，得

解之，得 故抛物线解析式为 ，顶点为 (2)∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

，

∴y<0，即 -y>0,-y表示点E到OA的距离.

∵OA是 的对角线，

∴ .

因为抛物线与 轴的两个交点是(1，0)的(6，0)，所以，自变量 的

取值范围是1< <6.

① 根据题意，当S = 24时，即 .

化简，得 解之，得 故所求的点E有两个，分别为E1(3，-4)，E2(4，-4).

点E1(3，-4)满足OE = AE，所以 是菱形;

点E2(4，-4)不满足OE = AE，所以 不是菱形.

② 当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的

坐标只能是(3，-3).

而坐标为(3，-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，

使 为正方形.

相关链接：2012中考数学压轴题及答案40例（4）