数学压轴题应对策略，设计特点是知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。在课程改革不断向前推进形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富的、公平的背景、精巧优美的结构，贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。

如2007年南京市中考压轴题：(2007南京)已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留画图痕迹。

(1)    在图(1)中，只用圆规在直线上画出两点B,C使得点A,B,C是一个等腰三角形的三个顶点;

(2)    在图(2)中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A,P所在直线与直线L平行。

尽管不少人对此题提出质疑，怀疑此题是否超出了课程的学习要求。讨论的结果并非如此。不仅符合新课程的学习要求，而且赋予尺规作图新的涵义。只用圆规充分发挥圆规的画弧功能。佩服命题者的大胆，匠心独具。“只用圆规，所以精彩”。

2007年宁波市中考压轴题：

四边形一条对角线所在的直线上的点，如果到这条对角线的两端的距离不等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点。如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上一点，PD=PB,PA≠PC,则P为    四边形ABCD的准等距点。

(1)画出菱形的一个等距点;

(2)如图3，做出四边形的ABCD的一个等距点(尺规作图，保留痕迹，不要求做法)

(3)(4)略

此题属几何“新定义”型压轴题(四边形准等距点)。创设了一个全新的概念——四边形准等距点，既形象又抽象，设计新颖，语言精炼，设问流畅，层次感强。使试卷有了较强的区分度、信度、效度。不拘一格的精彩压轴题举不胜举。分析中考热点和成熟的命题导向，对提高中考成绩具有重要意义。为此谈谈与压轴题相关联的两个问题，供大家参考：压轴题命题趋势、压轴题应对策略。

一、压轴题命题趋势

纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面，就题型而言有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。我做过一个抽样调查，从2007年全国中考试卷中抽取40份比较有代表性的中考试卷，对压轴题的题型、涉及的背景等进行了统计。统计的基本情况如下：

1、几何新定义题型有北京和宁波;纯代数综合有天津(一元二次方程和二次函数综合);尺规作图题型有南京;动态几何题型有20题，其中属质点运动的有16题，图形变换(旋转和折叠：如荆州、荆门、南宁等)的有4题。

2、以方程、函数、直线形为背景的压轴题多达13题;涉及圆和其他知识为   背景的只有上海和武汉2题;

3、有多达13题的最后一问是讨论点     存在性问题，即探究性问题。

4、在调查的40题中，有24题是在坐标系的背景下设计问题，其中20道动     态型问题中有14题涉及坐标系。那就是说坐标系充当了非常重要的桥梁，通过建立点与数即坐标之间对应关系，一方面可以用代数的方法研究几何的性质，另一方面又可用几何的直观得到代数问题的解答。

5、绝大多数压轴题均以综合题的形式呈现，由易到难设置3到4个问题，             问题间的关联程度较高，层次分明，层层推进，或由特殊到一般、或由           表及里等，区分度非常明晰，为不同层次的学生提供了施展才华的空间，            真正体现新课标的理念，不同的人在数学上有不同的发展。

荆州市近年来的数学中考题也和全国一样，充分体现了新课标的理念，坚持能力立意，具有创新意识保持自身的特色。呈现了“起点低，坡度缓，尾巴翘”的特点。回顾荆州市近两年的压轴题：以坐标系为桥梁，将直线形和函数、方程等进行综合，对图形进行旋转、翻折。涉及的知识点多、覆盖面广、层次分明、解法灵活、入口宽。考察学生能否在主干知识的交汇处寻找接合点，能否利用数形结合的思想将问题进行转化、建模进而解决问题。题目人性化，画有备用图。题目满足不同考生的需求，如问题二要求直接写出结论，不论你使用何种方法。题目的来源可从教材上找源头，来自于教材又高于教材。充分体现了新课标的理念，忠于教材，考察能力。压轴题的总体难度虽有所下降，但问题解决过程中的思维量没有降低，压轴题的区分度没有下降，压轴题的选拔功能没有削弱。预测2008 年荆州中考压轴题，应该是稳中求变，变中求新。它将以独特的构思、合理的编排，使不同层次的考生对同一道题有不同的选择和切入，使每个学生都有收获。

二、压轴题应对策略

针对近年压轴题的特点和我市压轴题的命题趋势，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实，因为基础是“不变量”，“热点”只与题目的形式有关。我们要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，进一步加强数学思想方法的渗透(数学思想方法渗透应按照：渗透—积累—重复—内化的模式进行)，调适学生心理，增强学生信心。根据我们以往的经验，学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难可能是：“不知从何处下手，不知向何方前进”，为了应对中考压轴题，使不同的层次学生都能在压轴题上有所收获，谈以下几个方面的建议，供大家在复习备考中参考：

1、专题训练

中考复习的第二阶段的任务应该是解题经验的积累。以能力立意为主。既要系统的复习主干知识和核心内容，又要关注中考命题的热点和稳定的风格导向，以形成能力为落脚点。一般将初中内容划分若干个专题进行横向复习。还可以以中考的热点为专题进行复习。第二轮复习还是以知识专题为主要内容，新题型专题不能游离于知识复习之外。但必须进行一定的有针对性的新题型的训练，让学生熟悉主干知识之间是如何进行整合的，如何寻找解决问题的策略。

比如动态性题型，是近年来的中考热点，特别是压轴题，根据前面我们统计比例高达百分之五十。那么，我们解决动态问题要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，识别动态中的静态，静态中的动态，抓住变化中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型求解。 动态性问题分质点运动(单质点和两质点运动)、图形变换(图形平移、旋转、翻折、综合变换)。荆州市近两年压轴题均是动态性问题，06年为图形旋转。07年为综合变换，既有质点运动又有图形的翻折。预计08年运动性问题还将突出如下特点：

⑴、设计依标靠本，源于教材高于教材。试题讲究背景，入口宽，逐步推进，梯度分明，能很好体现课标的理念，促进学生和谐发展;

⑵、该类题具有动静结合，以静制动的特征，综合性较强，既可考察几何知识的综合能力，又能联系函数与方程等重点代数知识，处于知识的交汇处，预计运动型试题作为压轴题的可能性较大。

再比如应用性问题，探索性问题，开放性问题等，我们都要根据其特点做好专题训练。把握每种题型的基本解题策略。指导学生弄清问题的本质，找准问题的切入点，这才是我们专题复习的本质。切不可将题型专题复习游离于知识之外，应该将两者有机结合。

2、模式识别

在数学学习过程中，积累的知识和经验经过加工会得出一些长久的有保存价值的典型题型或重要类型，我们称为基本模式。当我们遇到新问题时首先确认它是我们掌握的哪种基本模式，然后确定相应的解题方法，这是我们解题的基本思考方式，也是我们解中考题的基本策略。我们平时学习的过程更多的也是模式积累的过程，中考复习的过程更是强化模式的过程。我们不能认为模式的积累会僵化我们的思维。创新的思维，开放的思维应该是在大量的模式积累、比对中的自然升华。中考模式的识别可以具体化为：转化为课本上已经解决了的问题;转化为历年中考试题。历年的中考试题告诉我们，绝大多数中考题都来自于我们平时教材上学习的内容，都来自于我们以往中考试题的变形。试卷上的基础题可能是一些基本的模式，而综合题或者压轴题可能是几种模式的有机组合而成。模式识别有三个层次：直接用、转化用、综合用。在压轴题的解题策略中可能后两种使用的更多些。

我们以荆州市2007年压轴题为例：

25.(本题12分)如图，矩形OABC的边OC、OA分别与 轴、 轴重合，点B的坐标为( ，1)，点D是AB边上一个动点(与点A不重合)，沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处.

⑴若点P在一次函数 的图像上(如图甲)，求点P的坐标;

⑵若点P在抛物线 上，并满足△PCB是等腰三角形，请直接写出该抛物线的解析式;

⑶当线段OD与PC所在的直线垂直时，在PC所在的直线上作出一点M，使DM+BM   最小，并求出这个最小值.

问题1：求P点坐标。将图形对折，P点落在已知函数的图像上,属直线形与函数综合。涉及的基本模式应该有：图形的翻折与全等的关系，一次函数应用，勾股定理运用，距离与坐标的转换等。是几个基本模式的有机组合。题设交叉的成分不多，如果学生的基本功比较扎实，平时训练到位，完成问题一应该没什么问题。我们觉得学生还是比较容易上手，切入点容易找到。起点还是比较低。

问题2:若P在抛物线上，切满足三角形PBC为等腰三角形，求P点坐标。问题得以深化，难度加深，层次递进。用几何的方法求出线段的长度，用分类的思想考虑P点可能位置，进而解决问题。我们还是可以把它分解为若干基本模式，知识较问题1复杂了。

问题3：根据结论的特征，在直线上求一点到直线同旁的两点的距离最短，如果学生加以联想，类似的题应该做过，类似的基本模式应该训练过。只是将已经训练过的模式加以转换或综合运用就能解决问题。其实这个问题在教材上能找到它的原型：人教版实验教材八上14.2.1《轴对称变换》中的探究，义务教育版本的八年级教材上例题。它的基本模式是：利用轴对称变换，利用三角形三边关系求解。具体就是先作一点关于直线的对称点，连接此对称点与另一点的连线和直线的交点便是。当然单独一个这样的问题学生可能容易完成，把它放在这样的环境中，第一，考察学生是否具有这样的基本功，第二，考虑学生能否识别这个基本模式。这是模式识别的第二和第三个层次的运用，即转化和综合运用。在动态问题中动中取静，抓住运动中的特殊时刻进行研究。因为A、P、C不一定共线，但在P点运动的过程中，总有某一时刻OD与AC垂直，他们共线。问题就变成课本上的原型了。考生若能马上识别，就能解决问题了。此题对考生的要求就比较高了，这就体现出它的选拔功能了。这是一道源于教材又高于教材的好题。类似的压轴题还有05年无锡、07年南宁中考压轴题都是这种模式的应用。

那么，我们在平时的复习训练中，特别是在第二阶段的复习中就要加强基本模式的训练，有意识的进行模式间的组合，再组合，逐步提高的层次，不断进行基本模式的组合，使我们的基本模式变成综合模式，让学生的解题技能再提高一个层次。

3、差异分析

如果我们把题目的条件和结论之间的差异称为目标差，那么解题实质就在于设计一个目标差不断减少的过程。通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，我们称为差异分析法。(综合分析法)。使用这种方法可以解决从何处下手，向何方前进的问题，。有的同学不知如何下手，就是不会找目标差。运用差异分析可以解决模式识别无能为力的问题，对一些新题型或者综合性较强的题目，用这种方法思考常常有效。

如2007年天津数学中考压轴题：

已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x     ,有两个实数根x1,x2且满足

x1>0,x2-x1>1

⑴试证明：c>0

⑵证明:b2>2(b+2c)

⑶对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，对应的函数值为y0，则当0

我们来分析第二问：题设方程x2+bx+c=x 有两实数根x1,x2且满足

x1>0,   x2-x1>1，

结论证明:b2>2(b+2c)。

分析：b2>2(b+2c) ←→b-2b-4c>0←→(b-1) 2-4c>1

←→(x1+ x2) 2-4 x1x2=(x2-x1)2>1

←→x2-x1>1

寻找条件与结论之间的差异，进行比对，问题的思路豁然开朗。其实差异分析(综合分析)也是一种使用非常广泛的解题策略，不仅压轴题，一般我们做题都用此方法打通条件与结论之间的通路，然后用综合法去陈述我们的解答过程。

4、数形结合

在解题中，即利用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又用图形的直观性质来说明代数的抽象事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路。这是最常见也是最重要的解题思想。不只在中考时，更主要在平时的训练中就要学生学习好这种思想，掌握这种方法，成为一种熟练的成型的技能。数形结合的途径大致是：通过坐标系、转化、构造等方式。从2007年我们抽样调查的情况看，以坐标系为桥梁的超过一半以上，那就说通过坐标系进行数形结合还是比较普遍的途径。如前面我提到的荆州市压轴题，每一小题的解决都离不开数形结合的思想。

如2007年天津数学中考压轴题：

已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x     ,有两个实数根x1,x2且满足

x1>0,x2-x1>0

⑴试证明：c>0

⑵证明:b2>2(b+2c)

⑶对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，对应的函数值为y0，则当0

分析：从题目的表象来看，应该说是纯代数的问题，是一元二次方程与二次函数的综合。我们可以用纯代数的方法解决。但我们约稍加分析会发现它其实与图形或者说与函数的图像有着密切的联系。由已知可以画出抛物线y=x2+bx+c图像，其开口向上，与直线y=x有两个交点x1,x2，均在第一象限，交点横坐标满足x2>x1+1>1，由图像可知，当x<-b/2时，图像是下降的，因而对0

略解：由已知有;

x2>x1+1>1, x1>0            ①

设     x2+(b-1)x+c=( x1-x)( x2-x)      ②

⑴在②中取x=0,得c= x1 x2>0;

⑵在②中取x=-(b-1)/2,分别带入等式即有

(b-1)2-4c=( x2- x1)2

整理即得结论b2>2(b+2c)

⑶对0

y0- x0=( x1-x0)( x2-x0)

≥( x1-x0)( x1+1-x0)

=( x1-x0)2 +( x1-x0)

移项得，y0- x1 ≥( x1-x2)2>0

评析：这种解法与标准答案相比，有两个特点：第一，提供了几何直观背景;第二，用统一的②式同时处理三问。回避了复杂的计算和较繁琐的推理而且解题的思路也明晰，当然对学生的要求很高。

数形结合的解题策略可以说是一种基本的，使用频率最高的解题策略。我们应该让它成为学生的必备的解题策略。从抽样的40份试卷来看，绝大多数压轴题都将用到数形结合的解题策略。那么我们将把它作为重点进行训练。

基础知识和基本技能是根，策略是建立在良好的双基之上。离开了基础谈策略，那是无源之水，那是空中楼阁。所谓功到自然成。无论在中考复习的哪个阶段，离开了基础都不行。所以中考复习中我们不能一味攻坚攻难，刀走偏锋。题型只是形式而已，热点也好，传统也罢。掌握了基础，就把握了中考的主动。做好了专题复习，注重数学思想的渗透和解题策略的指导，我们的中考成绩就能跃升到更高的台阶。

5、  学生心里调适

在对待压轴题的态度上，不同层次的学生的心态是迥然不同的。笔者对困难生、一般生和尖子生做过问卷调查。反馈的信息是：困难生一般不考虑做压轴题，甚至连看都不看，中等生准备做1、2问，3、4问看情况，尖子生则会认真对待压轴题，他们认为这是展示他们才能的绝好机会。想想这种情况也符合实情。但作为教师，在中考复习的关键时期，除了在知识上予以指导外，更重要的在心理上给于帮助。考前学生的焦虑、茫然的情绪是正常的，那么教师的鼓励、安慰、激励将对学生树立信心至关重要。在模拟考试前后，找学生谈话，或考后的试卷评讲时，针对不同层次的学生提出不同的标高，多用激励的语言去评价，消除畏惧的心理，会收到比较好的效果。应该说中考试卷的压轴题1、2小题还是比较基础的，入口一般还比较宽，容易上手，不是想象的高不可攀。鼓励学生勇于思考，大胆去做，采用分段得分的策略，困难生和中等生尽可能去做，一般会收到意想不到的效果。最怕失去自信心。压轴题的后几问，肯定有一定的难度，其知识的综合性、使用的数学思想方法、解题技巧等对学生的要求一定较高。学生的困难一般表现在在较短的时间里难以理清各种关系，在问题的转化上，在解题策略的选择上难以一下找到合理的途径。但只要平时的训练到位，用平常心去对待，树立坚定的信心，以饱满的热情，镇定、自信地走进考场，相信人人都能取得成功。

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