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2011年青海省黄南中考数学探究题二

28. （2011年青海，28,12分已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图12，若抛物线y=-x2+bx

+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.

（1） 求抛物线的解析式.

（2） 若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？

（3） 点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

【答案】

（1）∵x2－4x+3=0的两个根为 x1=1,x2=3

∴A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（0,3）

又∵抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点

∴抛物线的解析式为 y=－x2-2x+3

（1） 作直线BC

由（1）得，y=－x2-2x+3

∵ 抛物线y=－x2－2x+3与x轴的另一个交点为C 令－x2－2x+3=0

解得：x1=1，x2=－3

∴C点的坐标为（－3,0）

由图可知：当－3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方.

(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为（a,0）,则E点坐标为（a，－a2－2a+3）

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.

∴F是线段PE的中点.

即F点的坐标是（a，）

∵直线BC过点B（0.3）和C(-3,0)

易得直线BC的解析式为y=x+3

∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式

即=a+3

解得 a1=－1,a2=－3(此时P点与点C重合，舍去)

∴P点的坐标是（－1,0）

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