3. (2012辽宁朝阳10分)如图已知P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，

C为优弧 上任意一点(不与A、B重合)，连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC。

(1)求证：PB为⊙O的切线;

(2)若 ，⊙O的半径为 ，求弦AB的长。

【答案】解：(1)证明：如图，连接OA，OB，

∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。

在△OAP和△OBP中，

∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)，

∴△OAP≌△OBP(SSS)。∴∠OAP=∠OBP=90°。

∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。

(2)延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，

∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。

∵∠AEB和∠ACB都对 ，∴∠AEB=∠ACB。

∴ 。

设AB=2x，则AE=3x，

在Rt△AEB中，BE= ，根据勾股定理得： 。

解得：x=2或x=-2(舍去)。

∴AB=2x=4。

【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】(1)连接OA，OB，根据AP为⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，用SSS证得△OAP≌△OBP，由全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为⊙O的切线。

(2)延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，由锐角三角函数定义，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在Rt△AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长。

4. (2012辽宁大连10分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。

(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想;

(2)若AB=6，AD=5，求AF的长。

【答案】解：(1)ED与⊙O的位置关系是相切。理由如下：

连接OD，

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴ 。∴OD⊥BC。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC。

∵DE⊥AC，∴DE∥BC。∴OD⊥DE。

∴ED与⊙O的位置关系是相切。

(2)连接BD，

∵AB=6，AD=5，

∴在Rt△ABD中， 。

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∴在Rt△ABD和Rt△ADE中，∠E=∠ADB=90°，∠EAD=∠DAB，

∴△ABD∽△ADE。∴ ，即 。∴ 。

在Rt△ADE中， 。

∵DE是圆的切线，∴DE2=CE•AE。∴CE= 。

∴AC=AE-CE= 。

∵BC∥DE，∴△ACF∽△AED。∴ 。

∴AF= 。

【考点】角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理，平行的判定和性质，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则 ，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线。

(2)首先证明△ABD∽△ADE，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求得DE的长，然后利用切割线定理即可求得CE的长，和AC的长，再根据△ACF∽△AED，对应边的比相等即可求解。

5. (2012辽宁丹东10分)如图，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作

⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连

接BC.

(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;

(2)若⊙O的半径为2，求AE的长.

【答案】解：(1)OB=BP。理由如下：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。

∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。

∴∠COP=60°。∴∠P=30°。

在Rt△OCP中，OC= OP=OB=BP。

(2)由(1)得OB= OP。

∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6。

∵ ，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。

∵∠P=30°，∴∠E=90°。

在Rt△AEP中，AE= AP= ×6=3。

【考点】切线的性质，含30度角的直角的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。

【分析】(1)首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB=BP。

(2)由(1)可得OB= OP，即可求得AP的长，又由 ，即可得∠CAD=∠BAC=30°，从而求得∠E=90°，从而在Rt△AEP中求得答案。

23.6. (2012辽宁锦州10分)如图：在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D做直

线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E.

(1)求证：直线DE是⊙O的切线;

(2)若cos∠BAC= ，⊙O的半径为6，求线段CD的长.

【答案】解：(1)证明：连接BD、OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC。

∵BA=BC ，∴D为AC中点。

∵O是AB中点，∴OD为△ABC的中位线。

∴OD∥BC。 ∴∠BFE=∠ODE。

∵DE⊥BC，∴∠BFE=90°。∴∠ODE=90°。

∴OD⊥DE。

∴直线DE是⊙O的切线。

(2)∵⊙O的半径为6，∴AB=12。

在Rt△ABD中，∵cos∠BAC= ，∴AD=4 。

由(1)知BD是△ABC的中线， ∴CD=AD=4。

【考点】圆周角定理，三角形中位线定理，切线的判定，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质。

【分析】(1)连接BD、OD，要证直线DE是⊙O的切线，只要OD⊥DE即可。由于DE⊥BC，故只要OD∥BC。因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，由AB=BC，根据等腰三角形三线合一的性质知BA=BC ;又O是AB中点，从而OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，得到OD∥BC。从而得证。

(2)在Rt△ABD中应用锐角三角函数定义，可求得AD=4。由 (1)知BD是△ABC的中线，即可求得CD=AD=4。

7. (2012辽宁沈阳10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.

(1)求证：BD平分∠ABC;

(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.

8. (2012辽宁铁岭12分)如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB.连接AD.

(1)求证：直线EF是⊙O的切线;

(2)若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=  ,求△CBD的面积.

【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°。

∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°，即∠ABF=90°。

∴AB⊥EF。∴EF是⊙O的切线。

(2)作BG⊥CD，垂足是G，

在Rt△ABD中，∵AB=10，sin∠DAB= ，

∴BD=6。∴根据勾股定理得AD=8。∴tan∠DAB= 。

∵点C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°。

∴BG=DG=BDsin45°= 。

∵∠DAB=∠DCB，∴tan∠DCB= 。∴CG= 。

∴CD=CG+DG= 。

∴S△CBD= CD•BG= 。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，切线的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线。

(2)作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中应用锐角三角函数定义求出BD和AD的长，再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论。

9. (2012辽宁营口10分)如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段

优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上.

(1) 求月牙形公园的面积;

(2) 现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C= ，求场地的最大面积.

【答案】解：(1)连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE。

由已知PD=PQ=DQ，∴△DPQ是等边三角形。

∴∠DQP=60°。

同理∠EQP=60°。 ∴∠DQE=120°。

∵ ，

， ，

∴ 。

∴月牙形公园的面积= (km2)。

答：月牙形公园的面积为 km2。

(2)∵∠C=90°，∴AB是⊙P的直径。

过点C作CF⊥AB于点F， CF•AB，

∵AB=4 km ,

∴ 取最大值就是CF长度取最大值，即CF=2km。

∴ 最大值等于4 km2。∴场地的最大面积为4( km2)。

【考点】圆的综合题，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，圆周角定理。

【分析】(1)由已知可得△DPQ和△EPQ是等边三角形，从而得∠DQP=60°，∠EQP=60°即∠DQE=120°。根据 和月牙形公园的面积=⊙P-2 即可求解。

(2)因为∠C=90°，所以根据直径所对圆周角是直角的性质，知AB是⊙P的直径。所以 最大即要AB上的高最大，而当AB上的高是⊙P的半径时最大，从而求得答案。

总结：2012年大连中考数学圆试题就介绍到这里了，希望能帮助同学们更好的复习本门课程，更多精彩学习内容请继续关注威廉希尔app !

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