3. (2014•攀枝花，第19题6分)如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A(2，﹣3)，C(0，2).

(1)求过点B的双曲线的解析式;

(2)若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在(1)中的双曲线上?并简述理由.

考点： 等腰梯形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化-平移.

分析： (1)过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y= (k≠0)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答;

(2)根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断.

解答： 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，

∴CD=2，BD=3，

∵C(0，2)，

∴点B的坐标为(2，5)，

设双曲线的解析式为y= (k≠0)，

则 =5，

解得k=10，

∴双曲线的解析式为y= ;

(2)平移后的点C落在(1)中的双曲线上.x k b 1 . c o m

理由如下：点C(0，2)向右平移5个单位后的坐标为(5，2)，

当x=5时，y= =2，

∴平移后的点C落在(1)中的双曲线上.

点评： 本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键.

4. (2014•黑龙江龙东,第26题8分)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.

(1)当直线m经过B点时，如图1，易证EM= CF.(不需证明)

(2)当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明.

考点： 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;梯形中位线定理..

分析： (1)利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可;

(2)根据题意得出图2的结论为：ME= (BD+CF)，图3的结论为：ME= (CF﹣BD)，进而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.

解答： 解：(1)如图1，

∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，

∴ME∥CF，

∵M为BC的中点，

∴E为BF中点，

∴ME是△BFC的中位线，

∴EM= CF.

(2)图2的结论为：ME= (BD+CF)，

图3的结论为：ME= (CF﹣BD).

图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠DBM=∠KCM

在△DBM和△KCM中

∴△DBM≌△KCM(ASA)，

∴DB=CK DM=MK

由题意知：EM= FK，

∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)

图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠MBD=∠KCM

在△DBM和△KCM中

∴△DBM≌△KCM(ASA)

∴DB=CK，DM=MK，

由题意知：EM= FK，

∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).

点评： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解题关键.

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