三、解答题

16.先化简，再求值：已知 ， ，计算代数式 的值.

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F. 求证：AE=CF

【解题思路】利用平行四边形的性质证 ≌ (AAS),全等三角形的对应边相等.

【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠ABC=∠CDA ，AB∥CD

∴∠BAC=∠DCA

∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F

∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC

∴∠ABE=∠CDF

∴ ≌ (AAS)

∴AE=CF

【点评】考查角平分线、平行四边形的性质，及全等三角形的判定、性质.

属于初中几何知识中的基础知识、基本技能(基本功)的考查.

难度中等

18. 为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2.

(1)求车架档AD的长;

(2)求车座点E到车架档AB的距离.

(结果精确到 1cm.参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321)

考点：解直角三角形的应用.

专题：几何图形问题.

分析：(1)在RT△ACD中利用勾股定理求AD即可.

(2)过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案.[来源:学.解答：解：(1)AD=  =75，

∴车架当AD的长为75cm，

(2)过点E作EF⊥AB，垂足为点F，

距离EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63cm，

∴车座点E到车架档AB的距离是63cm，

点评：此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

19.开封市图书馆开展了“读好书做文明市民”活动，吸引了大批读者.有关部门统计了2012年10月至2013年3月期间到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如下：

(1)在统计的这段时间内，共有　16　万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是　12.5%　，并将条形统计图补充完整(温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑);

(2)若今年4月到市图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工?

考点：条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

解答：解：(1)4÷25%=16      2÷16×100%=12.5%

(2)职工人数约为：

28000× =10500人 …(6分)

20.如图，正比例函数 的图象与反比例函数  在第一象限的图象交于 点，过 点作 轴的垂线，垂足为 ，已知 的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如果 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 与点 不重合)，且 点的横坐标为1，在 轴上求一点 ，使 最小.

20.解：(1) 设 点的坐标为( ， )，则 .∴ .

∵ ,∴ .∴ .

∴反比例函数的解析式为 . 3分

(2) 由   得  ∴ 为( ，).  4分

设 点关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为( ， ).

令直线 的解析式为 .

∵ 为(， )∴ ∴

∴ 的解析式为 . 6分

当 时， .∴ 点为( ， ).  7分

21.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同. 安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%. 安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由.

解：(1)设平均每分钟一道正门可以通过 名学生，一道侧门可以通过 名学生，(1分)由题意得：

(4分)

解得：                                 (7分)

答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生. (8分)

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)

拥挤时5分钟4道门能通过： =1600(名)(10分)

∵1600>1440

∴建造的4道门符合安全规定.                                (12分)

22.如图14―1，14―2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点. 直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ;

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是              ;

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.

解：⑴①DE=EF;②NE=BF. ………………………………………………………2分

③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF……………………………………………………………………6分

⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略)   …………………7分

此时，DE=EF……………………………………………8分

23. (2012海南省I13分)如图，顶点为P(4，-4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON

(1)求该二次函数的关系式.

(2)若点A的坐标是(6，-3)，求△ANO的面积.

(3)当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①证明：∠ANM=∠ONM

②△ANO能否为直角三角形?如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.

【答案】解：(1)∵二次函数图象的顶点为P(4，-4)，∴设二次函数的关系式为 .

又∵二次函数图象经过原点(0，0)，∴ ，解得 .

∴二次函数的关系式为 ，即 .

(2)设直线OA的解析式为 ，将A(6，-3)代入得 ，解得 .

∴直线OA的解析式为 .   把 代入 得 . ∴M(4，-2).

又∵点M、N关于点P对称，∴N(4，-6)，MN=4. ∴ .

(3)①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D.

则设A( ),

则直线OA的解析式为 .

则M( )，N( )，H( ).

∴OD=4，ND= ，HA= ，NH= .

∴ .

∴  . ∴∠ANM=∠ONM.

②不能. 理由如下：分三种情况讨论：

情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，

∴△AHN是等腰直角三角形. ∴HA=NH，即 .

整理，得 ，解得 .

∴此时，点A与点P重合. 故此时不存在点A，使∠ONA是直角.

情况2，若∠AON是直角，则 .

∵  ，

∴ .

整理，得 ，解得 ， .

∴此时，故点A与原点或与点P重合. 故此时不存在点A，使∠AON是直角.

情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴ .

∵OD=4，MD= ，ND= ，∴ .

整理，得 ，解得 .

∴此时，点A与点P重合. 故此时不存在点A，使∠ONA是直角.

综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形.

总结：2013年开封市中考数学一模试题就介绍到这里了，希望能帮助同学们更好的复习本门课程，更多精彩学习内容请继续关注威廉希尔app !

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