8.(2015•长春)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　1　.

考点： 二次函数图象上点的坐标特征;垂线段最短;矩形的性质.

专题： 计算题.

分析： 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1，1)，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值.

解答： 解：∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1，

∴抛物线的顶点坐标为(1，1)，

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x轴，

∴AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，

∴对角线BD的最小值为1.

故答案为1.

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了矩形的性质.

9.(2015•河南)已知点A(4，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　y3>y1>y2　.

考点： 二次函数图象上点的坐标特征.

分析： 分别计算出自变量为4， 和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可.

解答： 解：把A(4，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)分别代入y=(x﹣2)2﹣1得：

y1=(x﹣2)2﹣1=3，y2=(x﹣2)2﹣1=5﹣4 ，y3=(x﹣2)2﹣1=15，

∵5﹣4 <3<15，

所以y3>y1>y2.

故答案为y3>y1>y2.

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

10.(2015•乐山)在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出如下定义：若y′= ，则称点Q为点P的“可控变点”.

例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(﹣1，3)的“可控变点”为点(﹣1，﹣3).

(1)若点(﹣1，﹣2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　(﹣1，2)　.

(2)若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是　0≤a≤4 　.

考点： 二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征.

专题： 新定义.

分析： (1)直接根据“可控变点”的定义直接得出答案;

(2)根据题意可知y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y= 的图象上，结合图象即可得到答案.

解答： 解：(1)根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为(﹣1，2);

(2)依题意，y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y= 的图象上.

∵﹣16≤y′≤16，

当y′=16时，16=﹣x2+16或﹣16=﹣x2+16.

∴x=0或x=4 .

当y′=﹣16时，﹣16=﹣x2+16.

∴x=4 .

∴a的取值范围是0≤a≤4 .

故答案为(﹣1，2)，0≤a≤4 .

点评： 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度.

11.(2015•宿迁)当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为　3　.

考点： 二次函数图象上点的坐标特征.

分析： 设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到抛物线的对称轴等于 =﹣ ，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得结果.

解答： 解：设y=x2﹣2x+3，

∵当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，

∴ =﹣ ，

∴m+n=2，

∴当x=m+n时，

即x=2时，x2﹣2x+3=(2)2﹣2×(2)+3=3，

故答案为：3.

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键.

12.(2015•龙岩)抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是　y=﹣2x2﹣4x﹣3　.

考点： 二次函数图象与几何变换.

分析： 根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案.

解答： 解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2(x﹣1)2+1，

抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2(x+1)2﹣1，

化为一般式，得

y=﹣2x2﹣4x﹣3，

故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3.

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质.

13.(2015•湖州)如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是　y=﹣ x2+2 x　和　y= x2+2 x　.

考点： 二次函数图象与几何变换.

专题： 新定义.

分析： 连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，

根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是(1， )，求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式.

解答： 解：连接AB，

根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，

设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，

根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，

∵OA=MA，

∴△AOM是等边三角形，

设OM=2，则点A的坐标是(1， )，

则 ，

解得：

则抛物线C1的解析式为y=﹣ x2+2 x，

抛物线C2的解析式为y= x2+2 x，

故答案为：y=﹣ x2+2 x，y= x2+2 x.

点评： 此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系.

14.(2015•绥化)把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　y=2(x+1)2﹣2　.

考点： 二次函数图象与几何变换.

分析： 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答.

解答： 解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2，即y=2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2﹣2，即y=2(x+1)2﹣2.

故答案为：y=2(x+1)2﹣2.

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

15.(2015•岳阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是　③④　.(写出所有正确结论的序号)

①b>0

②a﹣b+c<0

③阴影部分的面积为4

④若c=﹣1，则b2=4a.

考点： 二次函数图象与几何变换;二次函数图象与系数的关系.

分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a>0;然后根据对称轴为x=﹣ >0，可得b<0，据此判断即可.

②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y>0，即a﹣b+c>0，据此判断即可.

③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可.

④根据函数的最小值是 ，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可.

解答： 解：∵抛物线开口向上，

∴a>0，

又∵对称轴为x=﹣ >0，

∴b<0，

∴结论①不正确;

∵x=﹣1时，y>0，

∴a﹣b+c>0，

∴结论②不正确;

∵抛物线向右平移了2个单位，

∴平行四边形的底是2，

∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，

∴平行四边形的高是2，

∴阴影部分的面积是：2×2=4，

∴结论③正确;

∵ ，c=﹣1，

∴b2=4a，

∴结论④正确.

综上，结论正确的是：③④.

故答案为：③④.

点评： (1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

(2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右.(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0，c).

16.(2015•莆田)用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　64　cm2.

考点： 二次函数的最值.

分析： 设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是(16﹣x)cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解.

解答： 解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是(16﹣x)cm.

则矩形的面积S=x(16﹣x)，即S=﹣x2+16x，

当x=﹣ =﹣ =8时，S有最大值是：64.

故答案是：64.

点评： 本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解.

17.(2015•资阳)已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　.

考点： 抛物线与x轴的交点;二次函数的性质.

专题： 新定义.

分析： 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为(1，4)，再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标(﹣1，0)，接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C(1，﹣4)，则可设顶点式y=a(x﹣1)2﹣4，

然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.

解答： 解：∵y=x2+2x+1=(x+1)2，

∴A点坐标为(﹣1，0)，

解方程组 得 或 ，

∴点C′的坐标为(1，4)，

∵点C和点C′关于x轴对称，

∴C(1，﹣4)，

设原抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣4，

把A(﹣1，0)代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.

故答案为y=x2﹣2x﹣3.

点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b2﹣4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

18.(2015•营口)某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　22　元时，该服装店平均每天的销售利润最大.

考点： 二次函数的应用.

分析： 根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答.

解答： 解：设定价为x元，

根据题意得：y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)]

=﹣2x2+88x﹣870

∴y=﹣2x2+88x﹣870，

=﹣2(x﹣22)2+98

∵a=﹣2<0，

∴抛物线开口向下，

∴当x=22时，y最大值=98.

故答案为：22.

点评： 此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质.

19.(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为　75　m2.考点/page]