三角点阵前n行的点数计算

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…

容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗?

如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系

前n行的点数的和是1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n，可以发现.

2×[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]

=[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]+[n+(n﹣1)+(n﹣2)+…3+2+1]

把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n(n+1)，于是得到

1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n=n(n+1)

这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n(n+1)

下列用一元二次方程解决上述问题

设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n(n+1)

整理这个方程，得：n2+n﹣600=0

解方程得：n1=24，n2=25

根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300.

请你根据上述材料回答下列问题：

(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能，求出n;如果不能，试用一元二次方程说明道理.

(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗?如果能，求出n;如果不能，试用一元二次方程说明道理.

考点： 一元二次方程的应用;规律型：图形的变化类

分析： (1)由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)个点，然后求它们的和，前n行共有 个点，则 =600，然后解方程得到n的值;

(2)根据2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× 个进而得出即可;根据规律可得n(n+1)=600，求n的值即可.

解答： 解：(1)由题意可得： =600，

整理得n2+n﹣1200=0，

(n+25)(n﹣24)=0，

此方程无正整数解，

所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600;

(2)由题意可得：

2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× =n(n+1);

依题意，得n(n+1)=600，

整理得n2+n﹣600=0，

(n+25)(n﹣24)=0，

∴n1=﹣25，n2=24，

∵n为正整数，

∴n=24.

故n的值是24.

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

7.(2014•四川宜宾，第21题，8分)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.

(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L.

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值.

考点： 规律型：图形的变化类;三元一次方程组的应用

分析： (1)理解题意，观察图形，即可求得结论;

(2)根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S.

解答： 解：(1)观察图形，可得S=3，N=1，L=6;