7.(2013•六盘水)(1)观察发现

如图(1)：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.

如图(2)：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 .

(2)实践运用

如图(3)：已知⊙O的直径CD为2， 的度数为60°，点B是 的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 .

(3)拓展延伸

如图(4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

7.解：(1)观察发现

如图(2)，CE的长为BP+PE的最小值，

∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点

∴CE⊥AB，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，

∴CE= BE= ;

故答案为 ;

(2)实践运用

如图(3)，过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，

∵BE⊥CD，

∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，

∵ 的度数为60°，点B是 的中点，

∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，

∴∠EOC=30°，

∴∠AOE=60°+30°=90°，

∵OA=OE=1，

∴AE= OA= ，

∵AE的长就是BP+AP的最小值.

故答案为 ;

(3)拓展延伸

如图(4).

8.(2013•盐城)阅读材料

如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD.

解决问题[

(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论;

(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立，请说明理由;如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系;

(3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 的值(用含α的式子表示出来)

8.解：(1)猜想：BF=CD.理由如下：

如答图②所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

∴OB=OC，∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

∴OF=OD，∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，[www@..c~^o*#m]

∴∠BOF=∠COD.

∵在△BOF与△COD中，

，

∴△BOF≌△COD(SAS)，

∴BF=CD.

(2)答：(1)中的结论不成立.

如答图③所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

∴ =tan30°= ，∠BOC=90°.

∵△DEF为等边三角形，点O为边EF 的中点，

∴ =tan30°= ，∠DOF=90°.

∴ = .

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠ BOF=∠COD.[

在△BOF与△COD中，

∵ = ，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ .

(3)如答图④所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，

∴ =tan ，∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，

∴ = tan ，∠DOF=90°.

∴ =tan .

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF与△COD中，

∵ =tan ，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ .

9.(2013•日照)问题背景：

如图(a)，点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

(1)实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 .

(2)知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

9.解：(1)如图，作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，

此时PA+PB最小，且等于AE.

作直径AC′，连接C′E.

根据垂径定 理得弧BD=弧DE.

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，

∴∠AOE=90°，

∴∠C′AE=45°，

又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°，

∴∠C′=∠C′AE=45°，

∴C′E=AE= AC′=2 ，

即AP+BP的最小值是2 .

故答案为：2 ;

(2)如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′.

∵AD平分∠BAC，

∴点B与点B′关于直线AD对称.

过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，xkb1.com

则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短)

在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，

∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45° =10× =5 ，

∴BE+EF的最小值为5 .

10.(2013•衢州)【提出问题】

(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC=∠ACN.

【类比探究】

(2)如图2，在等边△ABC中，点 M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.

10.(1)证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN(SAS)，