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福建三明市2011中考数学解答题解析五

21、（2011?福建）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．

（1）求证：∠ABD=∠CBD；

（2）若∠C=2∠E，求证：AB=DC；

（3）在（2）的条件下，sinC=，AD=，求四边形AEBD的面积．

考点：梯形；解直角三角形。

专题：证明题。

分析：（1）由两直线AD∥BC，推知内错角∠ADB=∠CBD；在△BAD中，根据等边AB=AD，推知等角∠ADB=∠ABD；所以由等量代换证得∠ABD=∠CBD；

（2）由两直线AE∥DB，推知同位角∠E=∠CBD；利用（1）的结果、等量代换求得∠ABC=2∠CBD=2∠E；根据已知条件知∠ABC=∠C，最后根据等腰梯形的性质知AB=DC；

（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，构造四边形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函数值的意义求得=；利用（2）的结论以及勾股定理求得CD=，DF=；最后根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD的平行四边形，再由平行四边形的面积公式：S=底×高，求得S四边形AEBD=AD?DF=．

解答：解：（1）∵AD∥BC

∴∠ADB=∠CBD

∵AB=AD

∴∠ADB=∠ABD

∴∠ABD=∠CBD；

（2）∵AE∥DB

∴∠E=∠CBD

由（1）得∠ABD=∠CBD

∴∠ABC=2∠CBD=2∠E

又∵∠C=2∠E

∴∠ABC=∠C

∴在梯形ABCD中，AB=DC；

（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC=，得=

由（2）得CD=AB，又AB=AD=，

∴CD=，DF=

∵AD∥BC，AE∥DB

∴四边形AEBD的平行四边形

∴S四边形AEBD=AD?DF=×=．

点评：本题考查了梯形、解直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角（同位角）相等．

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