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2012年福建省三明中考数学解答题四

21．（2012福建三明，21，10分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过点A，C两点，交AB于点D，已知∠A＝α，∠B＝β，且2α＋β＝90°．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（5分）

（2）若OA＝6，sinβ＝，求BC的长．（5分）

【答案】（1）连接OC（如图①）

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝α．

∵∠BOC＝∠A＋∠ACO＝2α

∴∠BOC＋∠B＝2α＋β＝90°

∴∠BCO＝90°

∴OC⊥BC

∴BC是⊙O的切线

(2) ∵OA＝OC＝6

由（1）得，OC⊥BC，在Rt△BOC中，sinβ＝

∵sinβ＝，

∴＝

∴OB＝10

∴BC＝

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