2013年中考数学几何综合压轴题

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2013-11-21

(2)

分析:(1)方案一:分割成两个等腰梯形;

方案二:分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形;

(2)利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答,认真计算即可.

解:(1)在表格中作答:

分割图形       分割或图形说明

示例:

示例:

①分割成两个菱形.

②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°.

①分割成两两个等腰梯形.

②两个等腰梯形的腰长都为a,

上底长都为,下底长都为a,

上底角都为120°,下底角都为60°.

①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形.

②等边三角形的边长为a,

等腰三角形的腰长为a,顶角为120°.

直角三角形两锐角为30°、60°,三边为a、 a、2a.

(2) 如右图①,连接BD,取AB中点E,连接DE.

∵AB=2a,E为AB中点,

∴AE=BE=a,

∵AD=AE=a,∠A=60°,

∴△ADE为等边三角形,∠ADE=∠DEA=60°,DE=AE=a,

又∵∠BED+∠DEA=180°,

∴∠BED=180°﹣∠DEA=180°﹣60°=120°,

又∵DE=BE=a,∠BED=120°,

∴∠BDE=∠DBE=(180°﹣120°)=30°,

∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°

∴Rt△ADB中,∠ADB=90°,

由勾股定理得:BD2+AD2=AB2,即BD2+a2=(2a)2,

解得BD= a.

如右图②所示,AC=2OC=2 =2 =2• a= a.

∴BD= a,AC= a.

点评:本题是几何综合题,考查了四边形(平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形)、三角形(等边三角形、等腰三角形、直角三角形)的图形与性质.第(1)问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力;第(2)问侧重考查了几何计算能力.本题考查知识点全面,对学生的几何综合能力要求较高,是一道好题

19、(2013年广州市)已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O 上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.

(1)当OC= 时(如图12),求证:CD是⊙O的切线;

(2)当OC> 时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.

①当D为CE中点时,求△ACE的周长;

②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE•ED的值;若不存在,请说明理由。

分析:(1)关键是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD为直角三角形,如答图①所示;

(2)①如答图②所示,关键是判定△EOC是含30度角的直角三角形,从而解直角三角形求出△ACE的周长;

②符合题意的梯形有2个,答图③展示了其中一种情形.在求AE•ED值的时候,巧妙地利用了相似三角形,简单得出了结论,避免了复杂的运算.

解:(1)证明:连接OD,如答图①所示.

由题意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC= ,

∴OD2+CD2=OC2

由勾股定理的逆定理可知,△OCD为直角三角形,则OD⊥CD,

又∵点D在⊙O上,

∴CD是⊙O的切线.

(2)解:①如答图②所示,连接OE,OD,则有CD=DE=OD=OE,

∴△ODE为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°;

∵OD=CD,∴∠4=∠5,

∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°,

∴∠EOC=∠2+∠4=90°,

因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形.

在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30°= ,

在等腰直角三角形AOE中,AE= OA= ,

∴△ACE的周长为:AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC)= +4+(2+ )=6+ + .

②存在,这样的梯形有2个.

答图③是D点位于AB上方的情形,同理在AB下方还有一个梯形,它们关于直线AB成轴对称.

∵OA=OE,∴∠1=∠2,

∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5,

∵四边形AODE为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2,

∴∠3=∠5=∠1,

在△ODE与△COE中,

∴△ODE∽△COE,

则有 ,∴CE•DE=OE2=22=4.

∵∠1=∠5,∴AE=CE,

∴AE•DE=CE•DE=4.

综上所述,存在四边形AODE为梯形,这样的梯形有2个,此时AE•DE=4.

点评:本题是几何综合题,考查了圆、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、梯形等几何图形的性质,涉及切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等多个知识点,难度较大

 

总结:中考数学几何综合压轴题就为大家分享到这里了,希望能帮助同学们巩固复习学过的知识,供大家参考!

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