第十四节 勾股定理

直角三角形

直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长.

等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例.也是等腰三角形中的特例.等腰直角三角形的两个底角都等于45°,顶角等于90°,相等的两条直角边是腰.

勾股定理

直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即,这就是勾股定理.

判定直角三角形

如果ΔABC的三边长为a、b、c,且满足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C=90°.

第十五节勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.即：在△ABC中,若a2+b2=c2,则△ABC为Rt△.

如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先求出最大边(如c).

验证c2与a2+b2是否具有相等关系.

若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形.若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.

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专题1： 一题多问、一题多图和多题一解

提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的,而认真的设计课本中例题、习题的变式,挖掘其潜能也是方法之一.课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉,它们具有丰富的内涵,在由知识转化为能力上具有示范性和启发性,在解题思路和方法上具有典型性和代表性.如果我们不以得到解答为满足,而是在解完之后,深入其中作进一步的挖掘和多方位探索,不仅可得到一系列的新命题,也可从“题海”中解脱出来,达到事半功倍的效果.而且通过不同角度、不同方位去思考问题,探索不同的解答方案,从而拓宽了思路,培养了思维的灵活性和应变能力.

专题2： 利用扩、剖、串、改提高解题能力

学习几何时,感到例题好学易懂,但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策,原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题,学完就了事,致使解题时缺乏应变能力,但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编,就能较好地解决这一问题.

1.扩充：将原题条件拓展,使结论更加丰富充分.

2.剖分析原题,将较复杂的图形肢解为若干个基本图形,使问题化隐为显.

3.串联：由例题的形式(条件、结论等),联想与它相似、相近、相反的问题.

4.改编：改变原题的条件形式,探索结论是否成立?

专题3： 分析、综合、辅助线

我们研究不等式的有关问题时,会发现很多巧妙的方法,还会不断学习掌握类比的数学思想,形数结合的思想,从未知向已知转化的化归思想,通过研究这些不断变化的问题,全面把握不等式及不等式组的解法,从而提高我们分析问题、解决问题的能力.

专题4： 不等式的若干应用

在平面几何里,证题思路主要有：(1)分析法,即从结论入手,逐步逆推,直至达到已知事实后为止.(2)综合法,先从已知条件入手,运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论.(3)两头凑,就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”,从已知看可以推出哪些结论;另一方面“由未知看需知”,从所求结论逆推看需要什么条件,一旦可知与需知沟通,证题思路即有了.添加辅助线是证明几何题的重要手段,也是学习中的难点之一.

专题5： 几何证题的基本方法有两种：

一种是从条件出发,通过一系列已确立的命题逐步向前推演,直到达到证题目的,简言之,这是由因导果的方法,我们称之为直接证法或综合法,综合法证题的程序如下：欲证AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.

另一种则反过来,先假定命题的结论成立,考虑达到目的需具备什么条件,通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止.简言之,这是执果索因的方法,我们称之为分析法,分析法证题的程序如下：欲证“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD,…,x,而xA,则断言BA,也就是AB.

在实际操作上,往往把这两种方法结合起来,先分析探求铺路,再综合解题成功,简言之就是“倒着推,顺着走”.

—平移、旋转、对称

在几何证题中,常需要将一个图形进行适当的变换,常见的几何变换有全等变换,等积变换和相似变换.

本章只讲全等变换,也就是不改变图形的形状和大小,只改变图形位置的变换.

常见的全等变换的形式有三：

1.平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得

到解决.平移的基本特点是：任一线段在平移过

程中,其长度保持不变.

2.旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形,这样

的变换叫做旋转变换,M叫旋转中心,α角叫旋

转角.

旋转变换的主要性质：(1)变换后的图形与原图形全等;(2)原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角.

3.对称：将一个图形(或它的一部分)绕着一条直线翻转180°,得一个与原来形状、大小完全相同的图形,这种变换称为轴对称变换,轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线.

除轴对称外,还有中心对称,这一点我们将在下一章四边形中讲到.

方法总结：

复杂的图形都是由较简单的基本图形组成,故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见.

当直接证题有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的.

综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法.

分析法是从结论出发,用倒推来寻找证明思路的方法.

两头“凑”的方法,也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路.(又叫分析――综合法).