角平分线定义

如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线.

角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.

三角形角平分线性质

三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等.

互逆命题

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.

原命题和逆命题的真假性

每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假;真、真;假、假;假、真.

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.

每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理

尺规作图

限定用直尺(没有刻度)和圆规的作图方法叫尺规作图.

基本作图

最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种：

(1)作一个角等于已知角;

(2)平分已知角;

(3)过一点作已知直线的垂线;

(4)作已知线段的垂直平分线;

(5)过直线外一点作已知直线的平行线.

有关概念

有两边相等的三角形称为等腰三角形.

三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形.

有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形.

等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例.

等腰三角形的有关概念

等腰三角形中,相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角.

等腰三角形的主要性质

两底角相等.

如图,ΔABC中AB=AC,取BC中点D,连结AD,

容易证明：ΔABD≌ΔACD,∴∠B=∠C.

如图,ΔABC中为等边三角形,

那么,由AB=AC,得∠B=∠C,

由CA=CB,得∠A=∠B,

于是∠A=∠B=∠C,但∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=∠B=∠C=60°

如图,ΔABC中AB=AC,且AD平分∠BAC,

那么由ΔABD≌ΔACD,

可得BD=CD,∠ADB=∠ADC,

但∠ADB+∠ADC=180°,

∴∠ADB=90°,从而AD⊥BC,

由此又可得到另外两个重要推论.

两个重要推论

等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边;

等边三角形各内角相等,且都等于60°.

等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法

三角形中,相等的边所对的角相等.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一.

等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边.它们都是证明两条线段相等的重要方法.

推论3

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

容易证明：这个推论的逆命题也是正确的.即：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.

运用

利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大;反过来,在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大.”

对称轴及中心

线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分.

线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”.

线段是以它的中垂线为对称轴的图形.

三线合一的定理的逆定理

如图所示,线段中垂线的性质定理的几何语言为：

于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是

三线合一定理的逆定理.

“距离”不同,“心”也不同

“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”,而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”.

三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等(这点称为三角形的内心).

三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等(这点称为三角形的外心).

重要的轨迹

图(A)所示.到角的两边OA、OB的距

离相等的点P1、P2,P3…组成一条射

线OP,即点的集合.

如图(B)所示,到线段AB的两端点的距离

相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直

线P1P2,因此这条直线可以看成动点形

成的“轨迹”.

第十三节轴线称和轴对称图形

轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称.

根据定义,两个图形和如果关于直线l轴对称,则：

(1)和这两个图形的大小及形状完全相同.

(2)把其中一个图形沿l翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合.

事实上,直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线.所以容易得到如下性质：

性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形.

性质2 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

性质3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上.

不难看出,如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.

轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.

轴对称和轴对称图形的区别和联系

区别

①轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.

②轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上.

③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形.

联系

①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合.

②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个

轴对称图形;反过来,如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个

图形,那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称.