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数论练习专题之完全平方数4

编辑:sx_yangk

2013-10-08

现在的奥数,其难度和深度远远超过了同级的义务教育教学大纲。而相对于这门课程,一般学校的数学课应该称为“普通基础数学”。特此威廉希尔app 为大家准备了数论练习专题之完全平方数4。

1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

解:设矩形的边长为x,y,则四位数

∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。

又 ,得x+y=11。

∴∴9x+1是一个完全平方数,而,验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。

2、求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。

解:设符合题意的四位数为,则,∴为五位数,为三位数,∴。经计算得,其中符合题意的只有2401一个。

3、求自然数n,使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

解:显然,。为了便于估计,我们把的变化范围放大到,於是,即。∵,∴。

另一方面,因已知九个数码之和是3的倍数,故及n都是3的倍数。这样,n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0,故30不合要求。经计算得

故所求的自然数n = 27。

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