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关于完全平方数的数论练习专题3

编辑:sx_yangk

2013-10-08

奥数是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读关于完全平方数的数论练习专题3,感受奥数的奇异世界!

1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

解:设此自然数为x,依题意可得

x-45=m^2; (1)

x+44=n^2 (2)

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得 :

n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89

因为n+m>n-m

又因为89为质数,

所以:n+m=89; n-m=1

解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

分析 设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证

是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明 设这四个整数之积加上1为m,则

m为平方数

而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

3、求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

分析 形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明 若,则

因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

若,则

因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

综上所述,不可能是完全平方数。

另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。

4、求满足下列条件的所有自然数:

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。

11|N - 4或11|N + 4

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

5、甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?

解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。

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