编辑：sx_zhangby
2015-04-27
奥数一直都是小学生学习的重点，父母想尽办法要提高孩子的数学成绩，给孩子上最好的学校，威廉希尔app 小学频道为大家提供了经典的排列与组合奥数题，希望对大家有所帮助。
经典的排列与组合奥数题及答案
问题：小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也可以写自己的名字。 结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。 请问：小明所在的班级共有多少人?
总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存在。然后，得出班级人数。最后，构造出一个例子，说明确实存在这种情况。
我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。
思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。由于平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存在被选了4次以下的人。所以，可以得到每个人恰好被选了4次。
首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。
假设有一个人被选了4次以上(由于很容易证明这个班的人数肯定不少于7人，所以我们可以假设有一个人被选了4次以上)，我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存在。
把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，…。意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，…。
这些选票都选择了A同学。由于任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。
我们还可以证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。
既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见，称之为B选票。
根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。
同样道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。
由于B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、…，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不可以的。
所以，没有人被选了4次以上。
由于平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。
所以，每个人恰好被选了4次!
-----------------------
希望为大家提供的经典的排列与组合奥数题，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注威廉希尔app !
相关推荐
标签：计数
威廉希尔app (51edu.com)在建设过程中引用了互联网上的一些信息资源并对有明确来源的信息注明了出处，版权归原作者及原网站所有，如果您对本站信息资源版权的归属问题存有异议，请您致信qinquan#51edu.com(将#换成@)，我们会立即做出答复并及时解决。如果您认为本站有侵犯您权益的行为，请通知我们，我们一定根据实际情况及时处理。