小学六年级路程问题奥数竞赛题

路程问题奥数竞赛题

如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.

要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。

作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′.

∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式 P′A′+P′B>A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等.

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