例3 数一数，下图中有多少个点?

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.

总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

方法2：补上一个同样的三角形点群(但要上下颠倒放置)和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立(见下图)：

三角形点数=长方形点数÷2

因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而长方形点数=10×9=(1+9)×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)×9÷2=45.

进一步把两种方法联系起来看：

方法1是老老实实地直接数数.

方法2可以叫做“拼补法”.经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了.

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)×9÷2.

这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了.这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了.

再进一步，若脱离开图形(点群)的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：

从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半.或是写成下面的文字式：

和=(首项+末项)×项数÷2

这个文字式通常又叫做等差数列求和公式.

例4 数一数，下图中有多少个点?

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：

总点数=2+3+4+5+6=20.

方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

由图可见，有下列等式成立：

梯形点数=长方形点数÷2.

因为梯形点数=2+3+4+5+6

而长方形点数=8×5=(2+6)×5

代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2

与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式.

再进一步，若脱离开图形(点群)的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5.这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半.

写成下面较简化的文字式：

和=(首项+末项)×项数÷2

这就是等差数列的求和公式.

例5 数一数，下图中有多少个小三角形?

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.

小三角形总数=1+3+5+7=16个.

方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示.

显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立.

大三角形中所含=平行四边形所含÷2

平行四边形所含=8×4=(1+7)×4(个)

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7=(1+7)×4÷2

这样，我们就得到了一个公式：

小三角形个数=(第一层的数+最末层的数)×层数÷2

脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：

等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4.这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半.

写成较简单的文字式：

和=(首项+末项)×项数÷2.