第十二届华杯赛决赛试题及解答：

一、填空

1. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

2. 计算：=________.

3. 如图所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CE

4. 将 、 、 、 、 从小到大排列，第三个数是________.

5. 下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如下图b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于________立方厘米.(π=3.14，水瓶壁厚不计)

6. 一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于________，从这列数的第________个数开始，每个都大于2007.

7. 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.

8. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个立体的表面积最多是________.

二、简答下列各题（要求写出简要过程）

9. 如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC=∠ACB、∠ADC=∠DAC，∠DAB=21°，求∠ABC的度数;并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.

10. 李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少?

11. 下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由.

12. 某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分是95分，没有得优的同学的平均分是80分，已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少?

三、详答下列各题（写出详细过程）

13. 如图，连接一个正六边形的各顶点，问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)?

14. 圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……放置了第k-1枚白色棋子后，小明依顺时针方向数了k-1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子，随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子，请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子?每个盒子各有多少枚棋子?

一、填空

1.解：偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981

2.解：原式=[20.75+1.24× ]÷41.75=[20.75+0.125]÷41.75=20.875÷41.75=0.5

3.解：CF=5，又CD和DF都是整数，根据勾股定理可知CE=3，DF=4，CD=7，

所以五边形ABCFG的面积为： =16+49+6=71(平方厘米)

4.解： =0.524， =0.525，所以： ，第三小的数是

5.解：如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为11厘米，则倒立时高度为15厘米，这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，所以瓶的容积相当于一个高22厘米(底面积不变)的圆柱的体积，即瓶的容积是：

3.14× ×22=1727(立方厘米)

6. 解：这列数的第一个是3，第二个是6，第三个是18，第四个是(3+6+18)×2=54，第五个是(3+6+18+54)×2=162，第六个是(3+6+18+54+162)×2=486

设这列数的第一个为a，则第二个为2a，第三个为6a=2×3×a，第四个为18a=2× ×a，第五个为54a=第六个为162a=2× ×a，第n个为2× ×a，因为a=3，所以第n个数也可写作2× ，即从第三个数起，每个数是前一个数的3倍。2007÷486>3，而2007÷3<9，可知从第8个数起，每个数都大于2007.

7.解：因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的 ，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，a+2a=111，求得a=37，2a=74，即所求数为74.

8.解：根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下：

可知，上下面积为8×2=16(平方厘米)，前后面积为8×2=16(平方厘米)，左右面积为8×2=16(平方厘米)，此立体的表面积共48平方厘米.

二、简答下列各题

9.解：∵∠DAC+∠ADC+∠C=，而∠DAC=∠ADC=∠B+21，∠B=∠C，

∴3×∠B+21°=180°, ∴∠B=46°

∠DAC=46°+21°=67°，∠BAC=67°+21°=88°

∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.

10.解：客车速度为60千米/小时，18秒钟通过的路程为：

=300(米)

货车长为(15.8+1.2)×30+10=520(米)

18秒钟货车通过的距离为520-300=220(米)

货车速度为 

=44(千米/小时)

11.解：

用(a，b)表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格(6，4)=8;第3行和第5行都有数字9，所以(7，4)=9;正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是(3，4)=7;此时，第4列中只余(5，4)，这一列只有数字6未填，所以(5，4)=6。所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951.

12.解：为使全班同学的平均分达到90分，需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为一组，即得优的同学至少应为没得优同学的2倍，才能确保全班同学的平均分不低于90分，所以得优同学占全班同学的比例至少是 .

三、详答下列各题

13.解：

首先按是否是等边三角形分类，图a、图b、图c中有3类等边三角形，红色的有6个，蓝色的有6个，黄色的有2个，共14个等边三角形。图d中有3类非等边的等腰三角形，绿色的有6个，紫色的有6个，棕色的有12个，共24个。所以共有等腰三角形(包括等边三角形)为38个.

14.解：依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号，则1号盒子可有的号数为1、8、15、…7k+1;2号盒子可有的号数为2、9、16、…7k+2;…;7号盒子可有的号数为7、14、21、…7k+7(k为整数)。

根据规则，小明将第1枚棋子放入1号盒子，将第2枚棋子放入3号盒子，将第3枚棋子放入6号盒子，将第4枚棋子放入10号即3号盒子，将第5枚棋子放入15号即1号盒子，将第6枚棋子放入21号即7号盒子，将第7枚棋子放入28号即7号盒子，按照这个规律，从第8枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1号盒子，第9枚放入3号盒子，…，也就是每7枚棋子为一个周期。并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子，有2枚放入3号盒子，有2枚放入7号盒子，有1枚放入6号盒子，2、4、5号盒子未放入棋子。各盒子中的白子数目如下表。

200=7×28+4，经过28次循环后，第197枚棋子放入1号盒子，第198枚棋子放入3号盒子，第199枚棋子放入6号盒子，第200枚棋子放入3号盒子。

在小青逆时针放子时，我们依逆时针方向给盒子不间断编号，同样地每7枚棋子为一个周期， 300=7×42+6，可以求出各盒子中的红子数目如下表。

盒子编号 1 2 3 4 5 6 7

白子 57 0 58 0 0 29 56

红子 86 85 43 0 0 86 0

棋子总数 143 85 101 0 0 115 56

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