第十二届华杯赛总决赛二试试题答案：

1.设，其中a、b、c、d都是非零自然数，则a+b+c+d=___.

2.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半园和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是r。用a、r和圆周率π所表示的这个半圆柱的体积的式子是____.

3.在8×8的方格网填入不同的自然数，使每个方格里都只有一个数，如果一个方格里的数，大于它所在的行中至少6个方格内的数，并且大于它所在的列中至少6个方格内的数，则称这个方格为“好格”。那么，“好格”最多有___个.

4.下图中的三角形都是等边三角形，红色三角形的边长是24.7，蓝色三角形的边长是26。问：绿色三角形的边长是多少?

5.若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行循环赛(组内每两队都要比赛一场)，共比赛了66场。问：共有多少支球队?(写出所有可能的参赛队数)

6.下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，(1)圆周上还有多少枚棋子?(2)在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少?

1. 解： 

∴a+b+c+d=2+3+5+9=19

2. 解：设圆柱的高为h，则半圆柱的总面积为：a=π +πrh+2rh

∴ h= 

∴ 这个半圆柱的体积为：

3. 解：因为一行有8个数，至多有2个数可以大于同行的6个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的6个数时，这个格才是“好格”，所以一行最多有两个“好格”，8行最多有2×8=16个“好格”。16个“好格”是可能的，下面给出一个例子，图中标“1”的16个格子是“好格”。

4. 解：

图中共有15个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。这些小三角形中，边长相等的有5对，分别是4和5，7和8，9和10，11和12，14和15(分别填充了相同的颜色)。将6的左边延长(图中用细红线标出)，可以看出13与14的边长之差等于1与2的边长之差，为26-24.7=1.3。

设14、15的边长为a，用 表示各三角形边长，则 = =a， =a+1.3， =2a+1.3， = =3a+1.3， =3a+2.6， =4a+1.3， =4a+3.9=5a+1.3，

∴ a=2.6， =9.1

从而 =24.7-9.1=15.6

5. 解：列出一个组内参赛队数与比赛场数之间的关系，如下表：

队数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

场数 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

因为，55加上3个表中所列的场数不能得到66，所以11个队的组不可能存在;

最多为10个队的组：45+10+10+1=66，45+15+3+3=66，有两种情况;

最多为9个队的组：36+28+1+1=66，36+21+6+3，36+10+10+10=66，有三种情况;

最多为8个队的组不可能存在;

最多为7个队的组：21+21+21+3=66，21+15+15+15=66有两种情况;

最多为6个或6个以下队的组不可能存在。

以上可能的情况，总队数分别为：

10+5+5+2=22，10+6+3+3=22;

9+8+2+2=21，9+7+4+3=23，9+5+5+5=24;

7+7+7+3=24，7+6+6+6=25

即可能的球队数共有21、22、23、24、25五种情况。

6.解：第一圈刚好把能被3整除的取走，即第一圈最后取走编号为3000的，共取走1000枚，剩下2000枚，此时1号仍为第一个。再从这2000枚棋子中隔2隔取走1个，第二圈最后取走的是2000枚中的第1998枚，共取走666枚，第1999、2000枚没有取走。再取就是第1号了，取走第1号时1000+666+1=1667枚棋子，还剩下1333枚棋子。

将第一圈取走的用绿色表示，将第二圈取走的用红色数字表示：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……

可见，每18个一循环，18个数去掉10个，剩下8个。拿走1后，剩下的最小编号是2，从2数第181枚，就是从1数第182枚。182÷8=22余6，22×18=396。

将366以后的数排列出来，并根据上述分析标上颜色：

397，398，399，400，401，402，403，404，405，406，407，408，409，……

可见，剩下的第6个数是407，即取走1号棋子后，从剩下的最小号数，第181枚棋子的编号是407。

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