第九届华杯赛总决赛二试试题及解答：

试题：

1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树.已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵.问：桃树和李树一共有多少棵?

2.如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时，图中两个弯月型(阴影部分)AEC和BFC的面积和最大.

3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人.问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的?举例说明.

(x病治愈率=)

4、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时.现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、…，每人工作一小时换班，直到工程完成.问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时?

5、求同时满足下列三个条件的自然数a，b：1)a>b;　2)　3)a+b是平方数

6.如图，正方形跑道ABCD.甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米.若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方.从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置.请计算出正方形的周长的所有可能值.

解答：

1.400棵2.当C点在通过圆心且与直径AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大3.能4.当工程完成时，甲干了7.2小时;乙、丙各干了8小时5. 6.正方形跑道的周长是210米或420米

1.解：下图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+……，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8=5，所以共有10圈，最外圈的桃树为4+9×8=76棵，果树总棵数为 =400(棵)

2.解：两弯月形面积= + ×AC×BC= ×AC×BC

本题即AC×BC何时有最大值.因为 ，当 时， 有最大值，此时AC×BC有最大值，即AC=BC时，阴影面积最大.

3.解：例如，甲、乙医院接收和治愈x，y病的人数如下表：

甲医院

x病 y病 合计

接收人数 20 80 100

治愈人数 1 40 41

治愈率 5% 50%

乙医院

x病 y病 合计

接收人数 80 20 100

治愈人数 20 20 40

治愈率 25% 100%

4.解：三人各干一小时完成 ，360÷47=7 ，

即经过每人干7小时还剩工程的1- ×7= 没有干完，

从题目所给的换班规则(每次3小时，各干1小时)，

每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同，

即按乙、丙、甲的顺序， > ， - = ， > ， - = ，

就是说，乙、丙又各干一小时，还剩 的工作量， ÷ =0.2(小时)

即当工程完成时，甲干了7.2小时;乙、丙各干了8小时.

5.解：由 ，可得：ab=169a+169b，ab-169a=169b，

a= ，a+b= = ，

因为a+b是平方数，所以b-169是平方数，设b-169= ，b= +169;

同理可得ab-169b=169a，b= ，a+b= = ，a-169是平方数，

设a-169= ，a= +169;于是，a+b= +2×169+ .

2×169=2×13×13，或2×169=2×1×169，或2×169=2×169×1，

因为a>b，所以m>n，a+b是平方数，

所以，m=169，n=1，a= +169= +169=169×170，b= +169= +169=170.

6.解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点.倒退21秒，

甲的位置距A点5×21=105(米)，甲与丙相距(5-3)×21=42(米).

因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，

所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米.

105÷1=105>42， 105÷2=52.5>42，105÷3=35<42.

所以正方形的边长是105米或52.5米，周长为420米或210米.

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