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第九届华杯赛决赛试题及解答

编辑:sx_wanghf

2014-04-10

第九届华杯赛决赛试题及解答:

一、填空(每题10分,如果一道题中有两个填空,则每个5分)

1.计算:2004.05×1997.05-2001.05×1999.05=( )

2.图1是一些填有数字的方形格子,一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行,每爬进邻近一个格子后,它就将该格子也涂上阴影,然后再爬进与该格子有公共边的格子中,继续将该格子涂上阴影,…。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列,结果是

012012012012012…… 阴影格子所组成的数字是( )。

3.等式:=39× 

恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字,“潮州市”代表的三位数是( )。

4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动,当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后(如图2),小圆盘运动过程中扫出的面积是( )平方厘米。(

=3.14)

 

5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发,分别向洞穴B、C、A爬行,同时到达后,继续向洞穴C、A、B爬行,然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同,爬行的总距离都是7.3米,所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟,蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了( )米,蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了( )米。

6.如图3,甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行,于E处相遇后,甲继续向B地行走,乙则休息了14分钟,再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返,仍在E处相遇,已知甲分钟行走60米,乙每分钟行走80米,则A和B两地相( )米。

二、解答下列各题,要求写出简要过程(每题10分)

7.李家和王家共养了521头牛,李家的牛群中有67%是母牛,而王家的牛群中仅有 是母牛,李家和王家各养了多少头牛?

8.一个最简真分数 ,化成小数后,如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004,求M的值。

9.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔,每种至少买1支。问她最多能买多少支?最少能买多少支?

10.在3×3的方格纸上(如图4),用铅笔涂其中的5个方格,要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数,如果两种涂法经过旋转后相同,则认为它们是相同类型的涂法,否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法?说明理由。

11.三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?

12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体,若拆下沿梭的小正方体,则尚余下371个小正方体,问所粘成的大长方体的棱长各是多少?拆下沿棱的小正方体后的多面体(图7是示意图)的表面积是多少?

答案

一、填空(每题10分,如果一题中有两个填空,则每个5分)

题目 1 2 3 4 5 6

答案 1989.5 9 728 18.84 2.4;2.1 1680

二、解答下列各题,写出简要过程(每题10分):

7.解答:李家和王家各养了300头和221头牛.

算术解法:

①李家养牛数的67%是母牛,母牛数应当是整数,67是质数,所以,李家养牛数应当是100的倍数,可能是500、400、300、200或100头,王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头.

②王家的牛群中有 是母牛,21、121、221、321和421中仅有221能为13整除,所以,王家养牛数是221头,李家养牛数是300头.

代数解法:

①李家的牛群中有67%是母牛,67是质数,可以设李家养牛头数为100x,王家的牛群中仅有 是母牛,13是质数,可以设王家养牛数是13y,列出方程

100x+13y=521.…………………………………(*)

②x和y是整数,分别取x=1,2,3,4,5.可以得到x=3,y=13.或者解同余方程(*).

(*)式两边除13,

-4x=1,Mod(13).…………………………(**)

x=3是(**)式的解,得到y=13.

8.解答:M是3.,

①把最简分数写成循环小数: ,,

②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27,2004被27除的余数是6,仅3/7符合要求.

9.解答:小丽最多能买14支圆珠笔,小丽最少能买9支圆珠笔.

方法一:

①买圆珠笔总费用是奇数,所以,买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数.

②高价格的笔买的越少,买圆珠笔的总数量就越多,若3元和4元的圆珠笔只各买1支,则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔,最多能买12+2=14(支)

③类似,低价格笔买的越少,买圆珠笔总的数量就越少,如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支,余下的钱有26元,能买6支单价4元的笔,尚余2元,可以再买1支2元的圆珠笔.所以,小丽最少能买9支圆珠笔.

方法二:

①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支,则:2x+3y+4z=31,……………………(*)

②分析等式(*)的奇偶性,y必须是奇数.因为x,y,z≥1, 3y=31-2x-4z≤25,y≤7.列下表:

y=1 x 12 10 8 6 4 2

z 1 2 3 4 5 6

y=3 x 1 3 5 7 9

z 5 4 3 2 1

y=5 x 2 4 6

z 3 2 1

y=7 x 1 3

z 2 1

从上表,小丽最多能买14支圆珠笔,小丽最少能买9支圆珠笔.

方法三:

①因为x,y,z≥1,所以从(*)式,2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28,得到x+y+z≤14.

②取x=12,y=1,z=1满足(*)式,且x+y+z=14.小丽最多能买14支圆珠笔.

③类似,4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34, ≥ .

取x=2,y=1,z=6满足(*)式,并且,x+y+z=9.小丽最少可以买9支圆珠笔.

10.解答:不同类型的涂法有3种,如下图A.

说明:

①所涂5个阴影方格分布在3行中,只有一行涂有3个阴影方格.同样,仅有一列涂有3个阴影方格.

②所以,仅有一个方格,它所在的行和列均有3个阴影方格,有这种性质的方格称为“特征阴影方格”.“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置,就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法.“特征阴影方格”在方格纸的角上(图A左边)、外边中间的方格(图A中间)和中心的方格(图A右边)三个位置确定了只有3种类型的涂法.

11.解答:60

说明:

①任何三个连续正整数,必有一个能为3整除.所以,任何“美妙数”必有因子3.

②若三个连续正整数中间的数是偶数,它又是完全平方数,必定能为4整除;若中间的数是奇数,则第一和第三个数是偶数,所以任何“美妙数”必有因子4.

③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0,若其个位是5和0,则中间的数必能被5整除,若其个位是1和6,则第一个数必能被5整除,若其个位是4和9,则第三个数必能被5整除.所以,任何“美妙数”必有因子5.

④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5,也就有因子60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60.60=3×4×5是一个“美妙数”,美妙数的最大公约至多是60.所有的美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,只能是60.

12.解答:多面体的表面积是358.

①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y,它们只能取正整数.长方体的体积是455,则有x×y×z=455,分解455=5×7×13,即:x×y×z=5×7×13(1)

②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个,若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个,则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个,而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个,应当有下面关系式:

4×(x-1+y-1+z-2)=84,x+y+z=25.(2)

分析(1)和(2),既然x,y,z只取正整数,验证x=13,z=7,y=5 是唯一解.

③计算表面积:

方法一:如右图B,拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成:

第一部分是突出在外面的6个平面,总面积是:2×(11×5+11×3+5×3)=206.

第二部分是24个宽都是1的长条,总面积是:8×(11+3+5)=152.

方法二:拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么).所以,2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358.

 

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