1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。

例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几?

解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以这个数最大是194。

2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。

例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数?

解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。

三、求余数类

例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数?

解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。

例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少?

解：因为

1314-1200=114=3×38，

1200-1048=152=4×38。

某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为

1200÷38=31(余22)

1314÷38=34(余22)。

所以，这个相同的余数是22。

例3.求19901990除以3所得的余数?

解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。

因为，

1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，

所以19901990除以3所得的余数为1。