综合练习3;1.有A、B两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取;解：44%.提示：A瓶的浓度为32%?2-36%;2.对于一个大于0自然数N，如果具有这样的性质就;加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+;解：6个，提示：奇数肯定是破坏数.4是破坏数(肯;3.小明从家去学校，出门一段时间后，爸爸发现小明;解：22分钟.提示：小明跑步从学校到相遇点的速度

综合练习3

1.有A、B两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取1升混合在一起，得到一瓶浓度为36%的盐水，他又将这份盐水与2升A瓶盐水混合在一起，最终浓度为32%.那么B瓶盐水的浓度是 .

解：44%. 提示：A瓶的浓度为32%?2-36%=28%，B瓶盐水是36%?2-28%=44%.

2.对于一个大于0自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添

加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除，那么有 个不大于10的破坏数.

解：6个，提示：奇数肯定是破坏数.4是破坏数(肯定不能被5整除).由于3|12、7|56、9|18、11|110，所以，2、6、8、10不是破坏数，故共有1、3、4、5、7、9六个破坏数.

3.小明从家去学校，出门一段时间后，爸爸发现小明未带铅笔盒，便骑车去追他，两人相遇之后爸爸立即回家，小明继续向学校走，爸爸到家后又发现小明未带作业本，拿着本再骑车去追他，而小明到校后也发现未带作业本，于是跑步回家去拿，与爸爸在途中相遇，已知两次的相遇点重合，相遇之间相差8分钟，且爸爸骑车的速度与小明跑步的速度分别是小明步行速度的4倍与3倍，则小明步行从家到学校需要 分钟.

解：22分钟.提示：小明跑步从学校到相遇点的速度是步行从相遇点到学校速度的3倍，在这段路程上，步行所用的时间是跑步的3倍，即步行了6分钟，爸爸在相遇点与家之间往返一次需要8分钟，单程要4分钟，故从家到相遇点小明步行要16分钟，故小明步行到学校要22分钟.

4.某班男生中有一半戴眼镜，女生中有三分之一戴眼镜，如果男生比女生少3人，但戴眼镜的男生比戴眼镜的女生多3人，那么这个班共有 人. 解：51人.提示：列方程 5.用[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，那么方程5[x]-19{x}=2001的所有解的平均数是 .

9解：402.提示：5[x]=19{x}+2001，2001+19=2020>5[x]?2001.5[x]为5

19的倍数，5[x]可以为2005、2010、2015，共三组解，要求解的平均数，只

9求解的中间数即可.则[x]=402.{x}=(2010-2001)?19=.

19

6.小明暑假看一本书，每天比前一天多看1页，看到第9天时发现才看完全

1

书的三分之一，于是从第10天开始每天比第一天多看3页，到了第18天刚好把全书看完，那么全书一共有 页.

解：513页.提示：后9天是前9天的2倍，第5天与第14天分别是前9天与后9天的平均数.第14天是第5天的2倍，第14天比第5天多看了4+3?5=19页，故第5天看了19页，前9天共看了171页.故共有513页.

7.将1-9这九个数字填入3?3的方格表的各个方格内，使得任意相邻两个格中所填数的和总不超过M，则M的最小值是 .

解：11.提示：因为与9相邻，M大于10.如右图，和都不超 过11.

8.从三位数100，101，...，499,500中任取出n个不同的数，其中存在三个数，它们的各位数字之和都相同，则n最小可能值是 .

解：43.提示：数字和为1的只有100，数字和为22的只有499，其它的数的数字之和在2-21之间，由抽屉原则，在剩下的数中任意20?2+1=41个数中，必然存在三个数，其数字和都相等.故最小值为43.

9.用4个不同的数字组成两个两位数，使乘积是7的倍数，那么这个乘积的最大值是 .

解：8148.提示：98?76=7448,91?87=7917,84?97=8148，如果有一个乘数不超过77，则其乘积肯定小于7700. 10.一个正方形的内部有2008个点，以正方形的4个顶点和内部的2008个点为顶点，将它剪成一些三角形.问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀? 解：共剪6025刀 提示：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数.

不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n+2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×2008+2个三角形，需剪3×2008+1

2

刀.

11.在长方形纸片ABCD中，AD=4，AB=3，现在将它折叠，使得C与A重合，则折痕的长度是 .

15解： 提示：折痕EF过AC中点，且垂直，设

4AF=CF=x，

FD=4-x，在直角三角形FDC中，(4?x)2?32?x2，

259，那么，HE=3，FH=4-FD-BE=4-2FD=， 8415再由勾股定理，得EF=.

412.以长方形ABCD的边AB和CD为斜边向长方形内作等腰直角三角形ABE和CDF，已知三角形ABE的面积为16，长方形的周长为44，求三角形BED的面积是 .

解：12 提示：三角形ABE是等腰直角三角形， 斜边上的高EH等于AB的一半，则16= 11 ?AB?EH??AB2，则AB=8，BC=14，三角 24形BED的面积为14?8?2?16?14?4?2=12.

13.有三堆石子的个数分别是19,8,9，现在进行如下操作，每次从这三堆中的任意两堆中各取一个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得(1)三堆石子的个数分别是22,2,12? (2)三堆都是12?若能，说明最少要几步? 解：(1)经6次可达到要求，(19,8,9)?(21,7,8)?(23,6,7)?(25,5,6)

?(24,4,8)?(23,3,10) ?(22,2,12),因为最少一堆从8到2，至少要经过6次，故不可能比6次少.

(2)不可能.每次操作后，每堆石子要么加2，要么少1，而19,8，9被3除的余数分别为1,2，0，经过任何一次操作，余数分别为0,1，2，不可能同时被3整除.故不能.

14.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况? 解：甲(或乙)胜就写一个甲(或乙)字，画树形图：

由图可见共有14种可能.

则x? 3

甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.

综合3的课堂小测

1. 计算：(20

9494794×1.65-20+×20)×47.5×0.8×2.5= . 95952095解：1994

2.算式□□?□□+□?□，将1-6填入6个方框中，能得到最大的结果是 .

解：3404.提示：5和6填在两个两位数的十位，3、4填在其个位，而53?64<54?63，故最大结果是54?63+2?1=3404.

3.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图.三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.则图中阴影部分的面积之和是 .

答：8cm2. 提示：容斥原理20?3?36?8?2?8cm2

4.李名玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子;再走4米放下3枚石子;再走7米，放下5枚石子;再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石子35枚，从A点到B点的路程是 . 解：477米 提示：N=(35-1)÷2+1=18

末项=1+3×(18-1)=52 和=(1+52)×18÷2=477(米)

5.在前1000个自然数(不包括0)中，则既不是平方数也不是立方数的自然数 有 个. 答：962个.提示：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36，……，900，961，共计31个;立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个;既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个.所以既不是平方数也不是立方数的有1000?(31?10?3)?962个.

6. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为 .

答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数.现任取这些九位数中的两个相差9的数，如413798256和413798265.

7. 如图所示：在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积

红 4

绿黄分别为52和12，且红绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点.则黄色正方形的面积是 .

答案：29.25 提示：红黄相交的部分面积为52?4=13，绿黄相交的部分面积13?4=3.25，则黄色正方形中另外两块面积相等的小长方形面积之积为

(52?4)?(13?4)?6.52，因此黄色正方形的面积为

6.5?2?13?3.25?29.25

8.如图，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成.现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，则共有 种不同走法.

解：120 提示：因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法.因为C点不能通过，所以C

处所标的数字为0.如下图所示：所以，从A到B满足条件的走法共有120种

9.如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之 .

解：8 提示 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150. 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8%.

即表面积减少了百分之八.

10右式中相同字母代表相同数字，不同字母代表不同ABCD数字，则EFCBH代表的五位数是 . 解：10652

+EFGBEFCBH 5

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